Классическая вероятность

Классический подход к рассмотрению вероятности базируется построении аналитической формулы для вычисления (отыскании рассмотрении теоретического числа) количества способов, в которых событие A имеет место быть. Другими словами – дать количественную оценку возможности появления события A.

Как и прежде:

а) в любом испытании (эксперименте, опыте, наблюдении) каждый из возможных результатов испытания называется (элементарным) исходом;

в) выбранный аспект наблюдения в испытании, называется (элементарным) событием;

с) те исходы, в которых интересующее нас событие наступает, называются успешными (благоприятствующими этому событию); когда событие не наступает, исходы называются неудачными (не благоприятствующими).

Вероятностью события А называется отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных несовместимых исходов:

P(A)=m/n,

где m – число элементарных исходов, благоприятствующих A; n-число всех возможных элементарных исходов испытания.

Здесь предполагается, что элементарные исходы несовместны, равновозможны и образуют полную группу. Несколько событий образуют полную группу, если в результате испытания появится хотя бы одно из них.

Cобытия называют равновозможными, если есть основания считать, что ни одно из них не является более возможным, чем другое.

События называют несовместными, если появление одного из них исключает появление других событий в одном и том же испытании.

Например:

Рассмотрим бросание игрального кубика. Общее число возможных исходов равно 6 (1,2,3,4,5,6). Назовём событием выпадение цифры 5. Тогда

P(«пять»)=1/6; P(«не пять») =5/6.

Если в некотором испытании количество случаев, благоприятствующих наступлению события А равно х, а количество случаев, не благоприятствующих наступлению события А равно y, то общее количество исходов n=x+y и P(A)=x/n=x/(x+y).

Достоверные и невозможные события

Если событие А обязательно произойдёт в результате проводимого опыта, оно называется достоверным;

Для достоверного события x=n, y=0. Значит P(A)=n/n=1.

Если событие А не может никогда произойти в конкретном опыте, его называют невозможным.

Для невозможного события x=0, y=n. Значит P(A)=0/n=0.

Вероятность достоверного события равна 1.

Вероятность невозможного события равна 0.

В большинстве реальных случаев вероятность события лежит между этими экстремальными значениями.

Вероятность случайного события есть положительное число, заключённое между нумлём и единицей

0 ≤ P(A) ≤ 1

Взаимно исключающие и взаимно не исключающие события. (Несовместимые и совместимые события)

Взаимно исключающими (несовместными) событиями называют такие события, которые не могут произойти вместе. Например, в одно и то же время на кубике не может выпасть и 5 и 3.

Взаимно не исключающими (совместными) событиями называют такие события, которые могут появиться одновременно. Например, в опыте с бросанием кубика может появиться число, которое одновременно делится и на 2 и на 3 – это число 6.

Примеры непосредственного вычисления вероятностей

Пример 1. Набирая номер телефона, абонент забыл одну цифру и набрал её наудачу. Найти вероятность того, что набрана нужная цифра.

Решение. Обозначим через A событие – набрана нужная цифра. Абонент мог набрать любую из 10 цифр, поэтому общее число возможных элементарных исходов равно 10. Эти исходы несовместны, равновозможны и образуют полную группу. Благоприятствует событию А лишь один исход (нужная цифра лишь одна). Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих событию, к числу всех элементарных исходов:

P(A)=1/10.

Пример 2. Набирая номер телефона, абонент забыл последние две цифры и, помня лишь, что эти цифры различны, набрал их наудачу. Найти вероятность того, что набраны нужные цифры.

Решение. Обозначим через B событие – набраны две нужные цифры. Всего можно набрать столько различных цифр, сколько может быть составлено размещений из 10 цифр по 2, т.е Эти исходы несовместны, равновозможны и образуют полную группу. Благоприятствует событию B лишь один исход. Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих событию, к числу всех элементарных исходов:

P(B)=1/90.

Пример 3. Указать ошибку «решения» задачи: «Брошены два игральных кубика. Найти вероятность того, что сумма выпавших очков равна 4 (событие А).

Решение. Всего возможны 2 исхода испытания: сумма выпавших очков равна 4, сумма выпавших очков не равна 4. Событию А благоприятствует один исход: общее число исходов равно 2. Следовательно, искомая вероятность P(A)=1/2.