Постулаты квантовой механики.

Операторы основных физических величин.

В квантовой механике операторы различных физических величин задаются с помощью операторов координат и импульсов. Оператор координаты есть просто координата, и его действие на любую функцию заключается в умножении ее на вектор r, определяемый координатами x,y и z, т.е.

r^f =rf

Оператор импульса р определяется через операторы его проекций (например, на декартовы оси координат):

p^=–ih= –ih[i∂∕∂х+ j∂∕∂у+ k∂∕∂z ]

Оператор полной энергии Ĥ (оператор Гамильтона) сумма операторов кинетической и потенциальной энергий, для одноэлектронного атома

Ĥ=T^+T^= –ћ²/2m_e∆ – Ze²/r^.

Где ∆≡²=∂²∕∂х²+∂²∕∂у²+ ∂²∕∂z² – оператор Лапласа.

Постулат 1. О волновой функции.

Любое состояние системы полностью описывается некоторой функцией Ψ(q₁, q₂, … q_n, t) от координат всех образующих систему частиц и времени, называемой функцией состояния системы или ее волновой функцией.

Постулат 2. О способе описания физических величин.

Каждой динамической переменной (координата, импульс, энергия и т.д.) ставится в соответствие линейный самосопряженный оператор. Все функциональные отношения между величинами классической механики в квантовой механике заменяются отношениями между операторами.

Постулат 3. Об основном уравнении квантовой механики.

Функция состояния должна удовлетворять уравнению

Ĥ( р, q, t ) Ψ(q, t)= ih∂∕∂t Ψ(q, t)

Это уравнение не может быть выведено, оно постулировано Шредингером (1926).

Если гамильтониан не зависит от времени, тогда волновую функцию Ψ(q,t) можно представить в виде произведения координатной Ψ(q,t)) и временной Ф(t) частей: Ψ(q,t)= Ψ(q,t) Ф(t), получая стационарное уравнение Шредингера:

Ĥ Ψ ( q )=Ε Ψ ( q)

Постулат 4. О возможных значениях физических величин.

Единственно возможными значениями, которые могут быть получены при измерении динамической переменной А, являются собственные значения Â операторного уравнения

 Ψ_i=А Ψ_i

Постулат 5. О среднем значении физической величины.

Среднее значение физической величины <А>, имеющий квантово - механический оператор Â, в состоянии Ψ определяется соотношением

<А>≡Аˉ= ∫Ψ^*(q) Â Ψ(q) dq=<‌‌ ‌‌Ψ׀ Â׀ Ψ >‌‌

Постулат 6. Принцип суперпозиции.

Если система может находиться в состояниях, описываемых волновыми функциями Ψ₁ и Ψ₂, то она может находиться и в состоянии

Ψ=С₁ Ψ₁ + С₂ Ψ₂,

где С₁ и С₂ – произвольные константы, которые при условии ортонормированности Ψ₁ и Ψ₂ находятся из соотношения

С_i = ∫Ψ^* Ψ_i dq

Этот постулат известен под названием принципа суперпозиции. Из постулата следует, что функция Ψ описывает такое состояние, при котором система находится либо в состоянии Ψ₁ с вероятностью равной С₁², либо в состоянии Ψ₂ с вероятностью С₂².

Постулат 7. Об антисимметричности волновой функции.

Волновая функция системы частиц с полуцелым спином должна быть антисимметрична относительно перестановки координат любых двух частиц.

Ψ(q_1, q_2, … q_i,… q_j,… q_n)= - Ψ(q_1, q_2, … q_j,… q_i,… q_n)