Тема 7. Аналіз концентрації, диференціації та подібності розподілів

З метою порівняння різних рядів розподілу застосовується система показників, які можна поділити на три групи:

1) показники центру розподілу (рис. 7.1),

2) показники варіації признаку (рис. 7.2),

3) показники форми розподілу (рис. 7.3).

4) показники концентрації та диференціації розподілу.

Рисунок 7.1 – Форми розподілу з різними центрами групування.

Рисунок 7.2 – Форми розподілу з різною варіацією ознаки.

Рисунок 7.3 – Форми розподілу з різною формою.

Для порівняльного аналізу центрів розподілів використовуються середня арифметична, мода та медіана. Формули для розрахунків подано в темі «Аналіз рядів розподілу».

Середня величина дає узагальнену характеристику всієї сукупності явища, що вивчається. Однак два ряди розподілу, які мають однакову середню арифметичну величину, можуть значно відрізнятися між собою за рівнем коливань (варіації) величини ознаки, що вивчається.

Для порівняння коливання ознаки в декількох сукупностях з різною величиною середньої арифметичної використовують відносні показники варіації.

Коефіцієнт осциляції: .

Відносне лінійне відхилення або лінійний коефіцієнт варіації: .

Коефіцієнт варіації: .

Сукупність вважається однорідною, якщо коефіцієнт варіації не перевищує 33 %.

Приклад. За даними вибіркових спостережень домогосподарств різних регіонів відомі середньодушові витрати на харчування та на придбання промислових товарів. Порівняти ступінь варіації витрат домогосподарств на харчування та на придбання промислових товарів (табл. 7.1).

Порівняти ступінь варіації витрат домогосподарств на харчування та на придбання промислових товарів можна за допомогою коефіцієнту варіації: .

Таблиця 7.1 – Первинні дані

Регіон	Середньодушові витрати на харчування, гр. од.	Середньодушові витрати на придбання промислових товарів, гр. од.
А В С	70 65 105	40 30 35
У цілому по країні	80	35

Витрати на харчування:

.

Витрати на придбання промислових товарів:

.

Отже, ступінь варіації витрат на харчування вищий майже у два рази ніж на придбання промислових товарів.

Для порівняльного аналізу ступеня асиметрії декількох розподілів розраховують відносний показник – коефіцієнт асиметрії (A_s).

Для встановлення міри відхилення від нормального розподілу вираховують показник ексцесу ( ). Він характеризує відхилення від нормального розподілу варіант із виступанням або падінням вершини кривої розподілу.

Мірою оцінки розшарування сукупності (диференціації розподілу) є також коефіцієнт децильної диференціації:

, (7.1)

де ,  перший та дев’ятий децилі. Формули для розрахунку подано у темі 6 «Аналіз рядів розподілу».

Приклад. Розподіл домогосподарств за рівнем середньодушових грошових доходів характеризується наведеними в таблиці 7.2 даними. Для регіону визначте децилі середньодушових доходів, поясніть їх зміст. Оцінить ступень децильної диференціації домогосподарств за рівнем середньодушових доходів, зробіть висновки (табл. 7.2).

Таблиця 7.2 – Первинні дані

Середньодушовий дохід, гр. од.	Кількість домогосподарств, од.
	Регіон А
До 30 30-60 60-90 90-120 120-150 150-180 180-210 210 і вище	22 34 62 59 47 20 6 -
Разом	250

Мірою оцінки розшарування сукупності є коефіцієнт децільної диференціації:

. (7.2)

Інтервал, де знаходиться перший дециль,  це інтервал, якому відповідає десята частина кумулятивних частот (табл. 7.3), тобто інтервал на який припадає 25 перших господарств. Це другий інтервал, а =30.

Таблиця 7.3 – Розрахункові дані

Середньодушовий дохід, гр. од.	Кількість домогосподарств, од.	Кумулятивні частоти
До 30 30-60 60-90 90-120 120-150 150-180 180-210 210 і вище	22 34 62 59 47 20 6 -	22 56 118 177 224 244 250 250
Разом	250

Частота інтервалу, де знаходиться перший дециль, = 34

Кумулятивна частота інтервалу, що знаходиться перед інтервалом першого дециля, =22.

.

Так, 10 % домогосподарств (25) мають дохід менше 32,65 од., а інші 90 % (225) – більше.

Інтервал, де знаходиться дев’ятий дециль, – це інтервал, якому відповідає 0,9 частин накопичених частот (тобто 225 кумулятивних частот). Це шостий інтервал, його початок =150.

Частота інтервалу, де знаходиться дев’ятий дециль, =20.

Кумулятивна частота інтервалів, що знаходяться перед інтервалом дев’ятого дециля, =224.

.

Отже, 90 % господарств (225) мають дохід менший 151,5 од., а інші 10 % – більше.

Значення децилів вказують на те, що серед 10 % господарств з найменшим середньодушовим доходом максимальний доход становить не більше 32,65 грн на одну людину. В свою чергу серед 10 % господарств з найбільшим середньодушовим доходом мінімальний дохід на одну людину становить не менше 151,5 гр. од. Таким чином, ступень розшарування населення становить . Тобто 10 % населення має мінімальний середньодушовий дохід, що перевищує в 4,64 рази максимальний середньодушовий дохід інших 10 % населення.

Коефіцієнти вимірювання концентрації (нерівномірності) рядів розподілів.

Оцінка нерівномірності розподілу значень ознаки між окремими складовими сукупності ґрунтується на порівнянні часток двох розподілів: d_j (частка групи в сукупності одиниць) та D_j (частка і-й групи в об’ємі ознаки х). Якщо розподіл значень ознаки рівномірний, то d_j = D_j, тобто, наприклад, на 25 % населення припадає 25 % доходів держави, на 10 % – відповідно 10 % доходів і т.д. Відхилення часток свідчить про певну нерівномірність розподілу, яка вимірюється коефіцієнтами локалізації та концентрації.

Коефіцієнт локалізації розраховується для кожної j-ї складової сукупності. Для рівномірного розподілу всі значення коефіцієнту будуть дорівнювати одиниці. У випадку концентрації значень ознаки в j-й складовій коефіцієнт локалізації буде більше одиниці і навпаки:

. (7.3)

Коефіцієнт концентрації є узагальнюючою характеристикою відхилення розподілу від рівномірного. У рівномірному розподілі коефіцієнт концентрації дорівнює нулю. Чим помітніше концентрація, тим більше значення відхиляється від нуля:

. (7.4)

Приклад. Відомі частки ферм (у відсотках) у загальній кількості ферм регіону та відповідні їм частки вартості реалізованої продукції в загальному об’ємі реалізованої продукції (у відсотках) (табл. 7.4).

Таблиця 7.4 – Первинні дані

Площа сільгоспугідь на 1 господарство, га	% до підсумку
	Кількість ферм	Вартість реалізованої продукції
До 10 10-20 20-40 40-60 60-100 100 і більше	12 28 31 17 8 4	2 8 16 19 23 32
Разом	100	100

Тобто на 12 % господарств, кожне з яких має до 10 га, припадає тільки 2 % реалізованої продукції, а на господарства, кожне з яких має 100 і більше га, кількість яких складає тільки 4 % з загального числа ферм, припадає 32 % усієї реалізованої продукції. Необхідно оцінити ступінь нерівномірності сукупності.

Розраховуємо коефіцієнт локалізації для кожної j-ї складової сукупності та коефіцієнт концентрації п.п.

Розрахунок коефіцієнтів наведено в таблиці 7.5.

Коефіцієнт концентрації п.п. свідчить про відносно високий рівень концентрації товарного сільськогосподарського виробництва у фермерських господарствах. Обсяги товарної продукції концентруються у великих господарствах – в останній групі  .

Таблиця 7.5 – Розрахункові дані

Площа сільгоспугідь на 1 господарство, га	% до підсумку
	Кількість ферм,	Вартість реалізованої продукції,
До 10 10-20 20-40 40-60 60-100 100 і більше	12 28 31 17 8 4	2 8 16 19 23 32	0,17 0,28 0,52 1,12 2,87 8,00	10 20 15 2 15 28
Разом	100	100		90

Коефіцієнт подібності структур двох об’єктів або одного за двома ознаками:

. (7.5)

Якщо структури однакові, то . Чим більші відхилення структур, тим менше значення коефіцієнта .

Для оцінки інтенсивності структурних зрушень у часі використовують середнє лінійне або середнє квадратичне відхилення часток, які називають коефіцієнтами структурних зрушень:

Лінійний:

. (7.6)

Квадратичний:

, (7.7)

де  частки j-ї групи розподілу за двома періодами;

 число складових сукупності.

Приклад. За наведеними даними оцінить подібність галузевої структури ВВП у двох країнах (табл 7.6).

Таблиця 7.6 – Статистичні дані

Країна	Структура ВВП, %
	Сільське господарство	Промисловість та будівництво	Сфера послуг
А В	15 9	38 51	47 40

Коефіцієнт подібності структур двох об’єктів: .

.

Отже, свідчить про значне відхилення структури ВВП у країнах, що розглядаються.