Задача 8

Кольцо из проволоки радиусом R=10 см имеет отрицательный заряд q=–5 нКл. 1) Найти напряженность Е электрического поля на оси кольца в точках, расположенных на расстояниях L равных 0, 5, 8, 10 и 15см. Начертить график Е=f(L). 2) На каком расстоянии L от центра кольца напряженность электрического поля будет иметь максимальное значение?

Дано:	Решение: 1) Возьмем элемент кольца dl. Этот элемент несет заряд dQ. Напряженность электрического поля в т. А, созданная этим элементом Она направлена по линии х, соединяющей элемент кольца dl с точкой А. Очевидно, для нахождения напряженности от всего кольца надо геометрически сложить dE от всех элементов. Вектор можно разложить на две составля-
	ющие и . Составляющие от каждых двух диаметрально противоположных элементов взаимно уничтожатся, и тогда

Составляющая

что дает

dq dl

x

R



L

но и окончательно

(1)

– напряженность электрического поля на оси кольца.

Если L>>R, то

т. е. на больших расстояниях заряженное кольцо можно рассматривать как точечный заряд.

Подставляя в (1) числовые данные, получим соответственно

2) Выразим величины х и L через угол . Имеем

R=sin, L=cos.

Теперь формула (1) примет вид:

Для нахождения максимума величины Е возьмем производную и приравняем ее нулю

делим на cos²

Тогда расстояние L точки А от центра кольца, на котором напряженность электрического поля максимальна, равно

График E=f(L):

В нашем случае R=0,1 м и, следовательно,

L_m=7,110^-2 м, Е_max=1732 В/м.

Ответ: напряженность электрического поля на 0 м; 0,05 м; 0,08 м; 0,1 м; 0,15м равна соответственно 0 В/м; 1609 В/м; 1714 В/м; 1590 В/м; 1152 В/м. Напряженность будет максимальной на расстоянии от центра и равна Е=1732 В/м.

Тема 2 Потенциал

Разность потенциалов между двумя точками электрического поля определяется работой, которую надо совершить, чтобы единицу заряда перенести из одной точки в другую

Потенциал точечного заряда

где r – расстояние от заряда.

Напряженность электрического поля и потенциал связаны соотношением

где U – разность потенциалов между пластинами конденсатора,

d – расстояние между ними.

1. Шаровой конденсатор

Разность потенциалов между внутренней сферой и какой-либо точкой внутри конденсатора, удаленной на расстояние r от центра конденсатора, равна

где а – радиус внутренней сферы.

2. Плоский конденсатор

Разность потенциалов между положительно заряженной пластиной и произвольной точкой, удаленной на расстояние х от нее, равна

3. Цилиндрический конденсатор

Разность потенциалов между внутренним цилиндром и произвольной точкой между электродами равна

где а – радиус внутреннего цилиндра,

q₁ – заряд внутреннего цилиндра на единицу длины.