Основание алгоритма бпф

В названиях алгоритмов БПФ можно встретить слово «RADIX» («основание» — в математическом смысле). Следующее после него число обозначает число фрагментов, на которое разбивается сигнал на каждом этапе прореживания (а также минимальный размер «кусочков» входного вектора, который достигается в результате его последовательных разбиений).

В алгоритмах «RADIX-2» размер анализируемой последовательности должен быть равен степени двойки, а ее половинное деление производится вплоть до получения двухэлементных последовательностей. Вычисление их ДПФ не требует операций умножения — два спектральных отсчета представляют собой сумму и разность отсчетов временных:

,

.

В алгоритмах «RADIX-4» количество отсчетов сигнала должно быть равно степени четверки, при каждом прореживании сигнал делится на четыре фрагмента, а последней стадией деления являются четырехэлементные последовательности. При вычислении их ДПФ умножение производится только на ±j, а такое умножение сводится к взаимной перестановке вещественной и мнимой частей комплексного числа с изменением знака у одной из них:

,

,

,

.

Использование основания 4 позволяет ощутимо уменьшить число выполняемых умножений.

Выводы

Наибольшее ускорение вычислений благодаря алгоритму БПФ достигается при длине анализируемого вектора, равной степени двойки. При разложении длины вектора на иные множители ускорение также возможно, хотя и не столь значительное. Если длина вектора — простое число, вычисление спектра может быть выполнено только по прямой формуле ДПФ.

Завершая краткое рассмотрение идеи БПФ, необходимо отметить следующее:

- БПФ не является приближенным алгоритмом; при отсутствии вычислительных погрешностей он даст точно такой же результат, что и исходная формула ДПФ. Ускорение достигается исключительно за счет оптимальной организации вычислений;

- применение БПФ имеет смысл, если число элементов в анализируемой последовательности является степенью числа 2. Как уже отмечалось, некоторое ускорение вычислений возможно и при разложении N на другие множители, однако это ускорение не столь велико, как при N = 2^k;

- алгоритм БПФ предназначен для одновременного расчета всех спектральных отсчетов Х(n). Если же необходимо получить эти отсчеты лишь для некоторых п, может оказаться предпочтительнее прямая формула ДПФ или рассматриваемый далее алгоритм Герцеля.

Литература

1 Цифровая обработка сигналов. А.Б.Сергиенко –СПб.: Питер, 2003. –608с.

2 Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы. – М.: Высш. шк., 1988. –448с.

3 Гутников В.С. Фильтрация измерительных сигналов. -Л.: Энергоатомиздат. Ленингр. отд-ние, 1990. – 192 с.: ил.

4 Шрюфер Е. Обробка сигналів: цифрова обробка дискретних сигналів.

5 Гольденберг Л.М. и др. Цифровая обработка сигналов. –М.: Радио и связь, 1985. -312с. (1990. -256с.)

Макс Ж. Методы и техника обработки сигналов при физических измерениях: В 2-х томах. Пер. с франц. М.: Мир, 1983.

Исходные данные к лабораторной работе

По исходным данным первой работы.

Таблица 1 Параметры БПФ и вид весового окна

n/n	Способ деления последовательности на части	Основание БПФ	Вид весового окна
1	По частоте	2	Окно Дирихле
2	По времени	2	Окно Бартлетта
3	По частоте	2	Окно Парзена
4	По времени	2	Окно Ханна
5	По частоте	2	Окно Хэмминга
6	По времени	2	Окно Блэкмана
7	По частоте	2	Окно Блэкмана -Хэрриса
8	По времени	2	Плосковершинное окно
9	По частоте	2	Окно Рисса
10	По времени	2	Окно Коши, а = 3
11	По частоте	2	Окно Римана
12	По времени	2	Окно Гаусса, а = 3
13	По частоте	2	Окно Дирихле
14	По времени	2	Окно Дирихле
15	По частоте	2	Окно Бартлетта
16	По времени	2	Окно Парзена
17	По частоте	2	Окно Ханна
18	По времени	2	Окно Хэмминга
19	По частоте	2	Окно Блэкмана
20	По времени	2	Окно Блэкмана -Хэрриса
21	По частоте	2	Плосковершинное окно
22	По времени	2	Окно Рисса
23	По частоте	2	Окно Коши, а = 3
24	По времени	2	Окно Римана
25	По частоте	2	Окно Гаусса, а = 3

Условные обозначения:

Содержание лабораторной работы

Задание №1: Исследовать спектральный состав сигналов и их суммы указанных в исходных данных к лабораторной работе №1 методом ДПФ. Графики амплитудных спектров сигналов отобразить в линейном и логарифмическом масштабе по амплитуде (20*lg(x/x₀), где x₀=1В).

Задание №2: Исследовать спектральный состав сигналов и их суммы полученных в результате сглаживания (фильтрации) в лабораторной работе №1 методом БПФ, параметры которого указаны в исходных данных к расчетно-графической работе. Сравнить с графиками амплитудного спектра сигналов полученными с помощью ДПФ. Графики амплитудных спектров сигналов отобразить в линейном и логарифмическом масштабе по амплитуде (20*lg(x/x₀), где x₀=1В).

Задание №3: Найти разрешающую способность спектрального анализа по частоте без использования весовой функции и с использованием весовой функции указанной в исходных данных к расчетно-графической работе.

Тестовые сигналы: 2-а гармонических сигнала с равной амплитудой.

Задание №4: Найти разрешающую способность спектрального анализа по амплитуде без использования весовой функции и с использованием весовой функции указанной в исходных данных к расчетно-графической работе.

Тестовые сигналы: 2-а гармонических сигнала с разной амплитудой и частотой. Разницу частот примем в 2..3 величины разрешающей способности по частоте.

Задание №5: Выполнить обратное дискретное преобразование Фурье спектра сигналов задания №1, исключив половину коэффициентов разложения (т.е. ограничив ряд низшими гармониками). Указать на различия исходных сигналов и результатов ОДПФ.