2 Кінематичні рівняння, отримані з обчислення.

Швидкість частинки, що рухається по прямій лінії можна отримати, якщо його становище як функцію часу, відомо. Математично швидкість дорівнює похідної від позиції по відношенню до часу. Крім того, можна знайти положення частки, якщо її швидкість відома як функція часу. В обчислення, порядок його виконання цього завдання називають або як інтеграл або як знайти первообразную. Графічно це еквівалентно знаходженню площі під кривою.

Припустимо υ_x–t графік для частинки, що рухається вздовж осі х, як показано на малюнку 1 Розіб'ємо інтервал часу t_f - t_i на безліч дрібних інтервалів, кожен з тривалості Δt_n. З визначення середньої швидкості, ми бачимо, що зміщення частинки в будь-який невеликий проміжок, наприклад, один в тіні на малюнку 1, дається Δx_n = υ_xn,avg Δt_n, υ_xn,avg, ср середня швидкість в цьому інтервалі . Таким чином, зміщення в цей невеликий проміжок просто площа заштрихованої прямокутника на малюнку 1 Загальне зміщення для інтервала t_f – t_i є сума площ всіх прямокутників from t_i to t_f :

де символ Σ (прописна грецька сигма) означає суму за всіма строками, тобто, за всіма значеннями n. Тепер, як інтервали зроблені все менше і менше, кількість додатків в сумі збільшується і сума прагне до значення, рівну площі під кривою в швидкість - часу графа. Тому в межі n→ ∞, або Δt_n→0, пересування

(1)

The limit of the sum shown in Equation 1 is called a definite integral and is written

(2)

Figure 1

where υ_x(t) denotes the velocity at any time t. If the explicit functional form of υ_x(t) is known and the limits are given, the integral can be evaluated.

Kinematic Equations

We now use the defining equations for acceleration and velocity to derive two of our kinematic equations:

υ_xf = υ_xi + a_xt (for constant a_x) (3)

and

x_f = x_i + υ_xi t+¹/₂a_xt² (for constant a_x) (4)

The defining equation for acceleration,

a_x =dυ_x/dt

may be written as dυ_x = a_x dt or, in terms of an integral (or antiderivative), as

3. Summary (Lectures 1 – 3 )

Definitions

(1)

Межа суми показано в рівнянні 1 називається визначений інтеграл і записується

(2)

Рисунок 1

де υ_x(t) позначає швидкість в будь-який момент t. Якщо явна функціональна форма υ_x(t), відома і ліміти є, інтеграл може бути обчислений.

Кінематичні Рівняння

Зараз ми використовуємо визначальні рівняння для прискорення і швидкості, щоб отримати два наших кінематичних рівняння:

υ_xf = υ_xi + a_xt (for constant a_x) (3)

та

x_f = x_i + υ_xi t+¹/₂a_xt² (for constant a_x) (4)

Визначальне рівняння для прискорення,

a_x =dυ_x/dt

можна записати у вигляді dυ_x = a_x dt або, в термінах інтеграла (або первообразная), як

3. Підбиття підсумків (Лекція 1 - 3) Визначення

When a particle moves along the x axis from some initial position x_i to some final position x_f , its displacement is

Δx = x_f - x_i

The average velocity of a particle during some time interval is the displacement Δx divided by the time interval Δt during which that displacement occurs:

υ_x,avg = Δx/Δt

The average speed of a particle is equal to the ratio of the total distance it travels to the total time interval during which it travels that distance

υ_avg = d/Δt

The instantaneous velocity of a particle is defined as the limit of the ratio Δx/Δt as Δt approaches zero. By definition, this limit equals the derivative of x with respect to t, or the time rate of change of the position:

The average acceleration of a particle is defined as the ratio of the change in its velocity Δυ_x divided by the time interval Δt during which that change occurs:

Concepts and Principles

An important aid to problem solving is the use of analysis models. Each analysis model has one or more equations associated with it. When solving a new problem, identify the analysis model that corresponds to the problem. The model will tell you which equations to use.

Коли частинка рухається вздовж осі x від деякого початкового положення x_i в деякій кінцевої позиції x_f, його зміщення

Δx = x_f - x_i

Середня швидкість частинки протягом деякого інтервалу часу є зміщення Δx, поділена на інтервал часу, протягом якого Δt що переміщення відбувається:

υ_x,avg = Δx/Δt

Середня швидкість частинки дорівнює відношенню загальної відстані де вона проходить до загального проміжку часу, протягом якого вона проходить цю відстань

υ_avg = d/Δt

Миттєва швидкість частинки визначається як межа відношення Δx/Δt; t як Δt прагне до нуля. За визначенням, ця межа дорівнює похідної x щодо t, або швидкості зміни позиції:

Середнє прискорення частинки визначається як відношення зміни його швидкості Δυ_x, поділене на часовий інтервал, протягом якого Δt відбувається, що зміна: