Глава 2. Гидродинамический подход

К ОПИСАНИЮ НЕУСТОЙЧИВОСТЕЙ

Рассмотрим общие подходы к проблеме устойчивости. Один из таких подходов – метод малых возмущений. Вначале рассматривается равновесие плазмы. Затем вводится малое отклонение от этого равновесия. Если при этом малое возмущение нарастает со временем, такое равновесие является неустойчивым.

В этой главе мы рассмотрим два метода анализа устойчивости: метод малых возмущений и энергетический принцип. Оба рассмотренных здесь метода имеют ограниченные области применимости. В одножидкостном приближении они позволяют анализировать довольно широкий класс желобковых и винтовых мод, весьма важный при анализе устойчивости тороидальных систем. С другой стороны, за рамками рассмотрения оказываются возмущения, связанные с разделением зарядов, такие, как ленгмюровские моды, а также коротковолновые возмущения. Последние требуют кинетического описания. Заметим также, что метод малых возмущений может быть развит и в многожидкостной гидродинамике, и в кинетике.

2.1. Метод малых возмущений

Метод малых возмущений мы будем рассматривать в гидродинамическом приближении Брагинского [2]:

; (2.1.1)

; (2.1.2)

; (2.1.3)

. (2.1.4)

Здесь F_e,I – вязкие силы, R – сила трения между электронами и ионами. Остальные обозначения – стандартные.

Будем предполагать квазинейтральность плазмы, то есть . Ведем массовую скорость

. (2.1.5)

Умножая уравнения (2.1.1) и (2.1.2) на массы электронов и ионов соответственно и суммируя два этих выражения, получаем уравнение непрерывности для плазмы как целого:

. (2.1.6)

Сложим уравнения (2.1.3) и (2.1.4). Пренебрегая вязкими членами, получаем

. (2.1.7)

Здесь , . Во многих задачах инерция электронов пренебрежимо мала. Поэтому положим в уравнении (2.1.3). Ток j можно выразить через электронную и ионную скорости:

J = ne(V_i – V_e). (2.1.8)

Полагая, что скорость электронов не слишком велика по сравнению со скоростью ионов (это предположение не всегда справедливо), можно положить также .

Для анализа таких гидродинамических неустойчивостей, как винтовая неустойчивость в токамаке, которые развиваются за времена, много меньшие времени между столкновениями, можно пренебречь столкновениями, то есть силами трения между электронами и ионами. В этом случае уравнение (2.1.3) примет вид

. (2.1.9)

Здесь мы пренебрегли инерцией электронов.

Член [j, H] выразим с помощью уравнения (2.1.7).

. (2.1.10)

Левую часть уравнения (2.1.10) можно оценить как V, где  – характерное время развития неустойчивости, а её отношение к последнему члену в правой части – как . Здесь – ионная ларморовская частота. Таким образом, для процессов, характерное время развития которых много больше ионной ларморовской частоты, левую часть уравнения (2.1.10) можно положить равной нулю.

Сравним теперь первый и последний члены в (2.1.10). Для первого члена можно сделать такую оценку:

. (2.1.11)

Последний член в правой части (2.1.10)можно оценить следующим образом:

[V,H]. (2.1.12)

Отношение двух этих членов можно представить в виде

.

Здесь – ионный ларморовский радиус. Если отношение макроскопической скорости плазмы к её тепловой скорости достаточно велико (оставаясь малым по сравнению с единицей), , то в уравнении (2.1.10) можно пренебречь также и градиентом давления. В результате получаем

E + [V,H] = 0. (2.1.13)

В качестве уравнения энергии возьмем адиабату или

, =0. (2.1.14)

К материальным уравнениям необходимо добавить уравнения Максвелла:

; (2.1.15)

div H = 0; (2.1.16)

rot H = j; (2.1.17)

В последнем уравнении опущена производная по времени от электрического поля, то есть полученная система уравнений не описывает такие быстрые процессы, как распространение радиоволн в плазме.

Как всегда в методе малых возмущений, ищем все величины в виде суммы, не зависящей от времени невозмущенной величины и малой добавки, H = H₀ + H₁; P = P₀+P₁; ; E = E₁; V = 6. Мы предположили, что невозмущённые значения скорости и электрического поля равны нулю.

В нулевом приближении получаем

; (2.1.18)

; (2.1.19)

; (2.1.20)

. (2.1.21)

В первом приближении

; (2.1.22)

; (2.1.23)

; (2.1.24)

; (2.1.25)

. (2.1.26)

Удобно ввести смещение элемента плазмы . Последнее равенство получено в первом порядке теории возмущений путем отбрасывания квадратичного по возмущению члена. Уравнение (2.1.25) теперь перепишется следующим образом:

. (2.1.27)

Интегрируя это уравнение по времени, получаем

. (2.1.28)

Аналогичным образом получаем

; (2.1.29)

. (2.1.30)

Окончательно, подставляя полученные выражения в уравнение (2.1.23), получаем уравнение второго порядка для

(2.1.31)

Уравнение (2.1.31) должно быть дополнено граничными условиями.

Рассмотрим два варианта: на границе плазмы с идеально проводящей стенкой и на границе с вакуумом.

На границе со стенкой смещение плазмы в направлении, перпендикулярном стенке, равно нулю:

. (2.1.32)

Здесь n – единичный вектор, нормальный к поверхности.

В идеально проводящей плазме составляющая электрического поля, параллельная границе, обращается в ноль:

. (2.1.33)

C помощью уравнения (2.1.13) и соотношения V = в линейном приближении получаем

. (2.1.34)

Проинтегрировав (2.1.34) по времени, окончательно получаем граничное условие на бесконечно проводящей неподвижной стенке:

. (2.1.35)

На неподвижной границе «плазма–вакуум» магнитное поле перпендикулярно границе (в противном случае плазма будет вытекать через границу вдоль поля):

. (2.1.36)

Величины в вакууме и в плазме будем обозначать соответственно индексами «e» (external) и «i» (internal). Равенство полных давлений по обе стороны границы раздела имеет вид

. (2.1.37)

Все величины надо вычислять на смещённой границе , где индексом «0» обозначены радиус-вектор невозмущенной границы и нормаль к ней. Разлагая в ряд по , с учётом (2.1.30), получаем в первом приближении

. (2.1.38)

В этом уравнении все значения берутся на невозмущённой границе «плазма–вакуум».

В плазме в системе отсчёта, движущейся вместе с граничной поверхностью, электрическое поле обращается в ноль. Тангенциальная её составляющая непрерывна. Поэтому

(2.1.39)

Так как оба слагаемых в левой части формулы первого порядка малости, их можно взять на невозмущённой границе:

. (2.1.40)

В вакууме электрическое поле выражается через векторный потенциал, . Выражение (2.1.40) можно переписать в виде

. (2.1.41)

Интегрируя это равенство по времени и учитывая, что магнитное поле параллельно магнитной поверхности, получаем

. (2.1.42)

На границе вакуум-стенка смещение обращается в ноль, поэтому .