4.2. Дрейфовая диссипативная неустойчивость
Вообще говоря, можно ожидать, что всевозможные отклонения от максвелловского распределения, в частности течения плазмы, могут приводить к неустойчивостям. В ловушках для удержания плазмы всегда имеются градиенты плотности и температуры, что вызывает течение плазмы. В этом разделе мы рассмотрим одну из таких неустойчивостей в столкновительном режиме. Она не способна разрушить плазменный шнур, так как локализована вблизи рациональной поверхности, но может дать вклад в аномальный перенос (см. также раздел 3.6).
Рассмотрим плоский
слой
плазмы в
однородном магнитном поле
,
направленном вдоль оси z.
В равновесии градиент давления направлен
вдоль оси x.
Скоростью частиц поперек магнитного
поля, связанной с диффузией, и инерцией
электронов можно пренебречь. Пренебрежем
также стационарным электрическим полем
и положим температуру ионов равной
нулю. Тогда
,
(4.2.1)
а ток имеет только
полоидальную составляющую
.
В нулевом приближении имеем
. (4.2.2)
Мы будем рассматривать чисто электростатические возмущения, то есть пренебрегать возмущениями магнитного поля. Тогда уравнение движения плазмы приобретает вид
.
(4.2.3)
Обобщенный закон Ома дается выражением (5.4.6) [8]:
.
(4.2.4)
Здесь
– удельное сопротивление. Мы пренебрегли
термосилой и вязкостью. С учётом
соотношений
и (4.2.1) можно написать:
.
(4.2.5)
Мы ввели скалярный
потенциал
.
Кроме того, нам понадобятся уравнения
непрерывности для вещества и электрического
тока:
(4.2.6)
и
. (4.2.7)
В фурье-представлении по времени уравнения (4.2.3) и (4.2.5) выглядят так:
; (4.2.8)
.
(4.2.9)
Выразим
из уравнения (4.2.9) и подставим в (4.2.8):
. (4.2.10)
Все параметры равновесного состояния не зависят ни от y, ни от z. Поэтому возмущённые параметры можно разложить в интеграл Фурье по y и z. Тогда z-компоненту тока можно найти из уравнения (4.2.9):
.
(4.2.11)
В уравнения (4.2.10)
можно опустить член
.
Соответствующие компоненты этого
уравнения имеют вид
(4.2.12)
и
.
(4.2.13)
Разрешая эти два уравнения относительно Vx и Vy, получаем
; (4.2.14)
.
(4.2.15)
Здесь
– ионная циклотронная частота. Для
дрейфовой диссипативной моды можно
положить
.
Поэтому членами, квадратичными по
,
можно пренебречь,
Найдём теперь остальные компоненты возмущённого тока. Перпендикулярная составляющая уравнения (4.2.9) при пренебрежении членом, пропорциональным сопротивлению плазмы, даёт
,
(4.2.16)
что в компонентах приобретает вид
;
(4.2.17)
.
(4.2.18)
Подставим выражения
для тока в уравнение
и будем считать, что
.
В результате получим
.
(4.2.19)
Ещё одно уравнение
получим с помощью уравнения непрерывности
.
Из z-компоненты
уравнения (4.2.8) находим
.
(4.2.20)
Подставляя (4.2.14), (4.2.15) и (4.2.20) в уравнение непрерывности, получаем
.
(4.2.21)
Определитель системы уравнений (4.2.19) и (4.2.21) даёт дисперсионное уравнение для дрейфовой диссипативной моды:
(4.2.22)
или
.
(4.2.23)
Это выражение можно представить также в виде
(4.2.24)
В этом выражении в скобках можно пренебречь двумя последними членами по сравнению с единицей.
Введем дрейфовую частоту
.
(4.2.25)
Умножим уравнение
(4.2.24) на
.
В результате дисперсионное уравнение
приобретает вид
.
(4.2.26)
Введём безразмерную
частоту
и обозначение
.
Тогда дисперсионное уравнение принимает
совсем простой вид:
,
.
(4.2.27)
Рассмотрим случай
.
Для таких возмущений
или в размерном виде
.
(4.2.28)
Как видно, решение со знаком «плюс» соответствует неустойчивости.
В противоположном
случае,
получаем
,
(4.2.29)
то есть одно из решений устойчиво, а другое слабо, неустойчиво.