3.7. Неустойчивость на запертых частицах
До сих пор мы изучали неустойчивости, которые с той или иной степенью точности можно исследовать в пределе цилиндра с отождествленными концами. Однако только в торе развивается целый ряд неустойчивостей, которые играют большую роль в аномальных переносах тепла и частиц. Таковы, например, баллонные моды (см., например, [4]). Рассмотрим одну из таких неустойчивостей – бесстолкновительную неустойчивость на запертых частицах.
В токамаке запертые частицы совершают периодические движения между точками отражения аналогично частицам в пробкотроне. Поэтому можно ожидать развития аналогичной неустойчивости. Но запертые частицы в токамаке погружены в море пролётных частиц, которые частично компенсируют разделение зарядов, создаваемое запертыми. Поэтому условие устойчивости будет несколько иным.
Очевидно, что для решения задачи должно быть использовано кинетическое уравнение. В нулевом приближении оно имеет вид
. (3.7.1)
Для простоты
положим
.
Более того, если возмущение сильно
локализовано по радиусу, можно перейти
в систему отсчёта, в которой
.
Пусть функция распределения
мало отличается от максвелловской с
локальным значением температуры. Тогда
можно написать
(3.7.2)
С учётом того, что
,
уравнение (3.7.1) примет вид:
.
(3.7.3)
Будем рассматривать
неустойчивость в пределе сильного
магнитного поля,
,
когда можно пренебречь членом
.
Тогда уравнение (3.7.3) перепишем так:
.
(3.7.4)
Это равенство справедливо при любых (нерелятивистских) скоростях, поэтому справедливо равенство
.
(3.7.5)
В дальнейшем для
краткости будем опускать индекс j,
означающий
сорт частицы. Выразим производную
из этого уравнения и проинтегрируем по
скоростям. В результате получаем поправку
к
,
связанную с тороидальностью:
.
(3.7.6)
Теперь вычислим поправку к функции распределения, связанную с возмущением электрического поля. Соответствующее кинетическое уравнение в линейном приближении имеет вид
.
(3.7.7)
Здесь тильдой
обозначена поправка к функции
распределения, связанная с возмущением
электрического поля
.
Мы считаем возмущения чисто потенциальными,
.
Левая часть этого уравнения – это полная
производная по времени
,
то есть можно написать
(3.7.8)
и проинтегрировать
полученное уравнение по времени от
до
.
(3.7.9)
Возмущение плотности
находим, интегрируя
по скоростям. Теперь для получения
дисперсионного уравнения достаточно
приравнять возмущения плотностей
электронов и ионов. Учтём, что
.
Кроме того,
.
Возмущенный
потенциал периодичен по азимутальному
и тороидальному углам. Поэтому будем
искать его в виде
.
Здесь
и
– азимутальный и тороидальный углы,
Индексы
и
мы для краткости будем опускать.
.
(3.7.10)
Прямой фурье-анализ здесь затруднён, так как магнитное поле само зависит от полоидального угла.
Положим
и пренебрежём отклонением частиц от
ведущего центра. Тогда в системе
координат, в которой силовые линии
прямые, получим возмущенную плотность.
. (3.7.11)
Здесь
– определитель метрического тензора
(см. раздел 3.2),
– ковариантные компоненты вектора
.
В случае малой тороидальности уравнение
(3.7.11) упрощается. Кроме того, полагая
,
членом, пропорциональным
,
можно пренебречь по сравнению с членом,
пропорциональным
.
В результате, приравнивая
и
,
получаем
(3.7.12)
Здесь мы положили . При интегрировании по скоростям нужно отдельно проинтегрировать пролётные и запертые частицы. Для пролётных частиц
;
;
.
Отклонением пролётных частиц от магнитной поверхности можно пренебречь. Интегрирование по времени дает множитель
.
(3.7.13)
Частота оценивается
как ионная дрейфовая частота,
,
где
– характерный масштаб плотности или
давления. Эта частота существенно меньше
обратного времени пролёта электрона
вдоль одного оборота силовой линии по
тороидальному углу,
,
даже если
.
Для ионов
.
Действительно,
,
если
и выполняется обычное условие
,
а также мода не слишком близка к резонансу,
.
В этом случае множитель (3.7.13) мал и
вкладом от пролётных частиц можно
пренебречь.
Для запертых частиц можно написать ([8])
; (3.7.14)
.
(3.7.15)
Характер траектории можно хорошо видеть на примере глубоко запертых частиц:
(3.7.16)
Частицы совершают
периодические колебания по углу
.
По углу
наряду с колебаниями они совершают
также поступательное движение со
скоростью
,
.
Таким образом, интегрирование по
можно свести к интегрированию по периоду
колебаний, соответствующему колебаниям
между точками отражения и суммированию
по этим отрезкам времени. Тогда мы
получим интегральное уравнение
,
(3.7.17)
переходя к
интегрированию по
от интегрирования по
.
В результате находим интегральное
уравнение для
.
Решая его, получаем собственные функции
и собственные значения для частоты.
Условие устойчивости, при котором
,
имеет вид
,
(3.7.18)
что соответствует падению с радиусом. Обычно в токамаке величина растёт с радиусом. Таким образом, неустойчивость на запертых частицах должна развиваться и приводить к аномальным переносам практически при любом профиле тока. Более подробно эта неустойчивость описана в работе [5].