Алгебраические операции

Первоначальными понятиями в алгебре являются числа и действия над ними. В курсе арифметики и алгебры средней школы вводятся множества натуральных чисел – N;

целых чисел – Z; рациональных чисел – Q; иррациональных чисел; действительных чисел – R, а также четыре арифметических действия: сложение, вычитание, умножение и деление.

Напомним обозначения:

N={1,2,3,4,5,…} – множество натуральных чисел;

Z={…,-3,-2,-1,0,1,2,3,…} –множество целых чисел;

- множество рациональных чисел.

Любое рациональное число можно представить в виде конечной или бесконечной периодической десятичной дроби.

Множество R действительных (вещественных) чисел образовано числами, которые представимы в виде конечных или бесконечных десятичных дробей. Оно включает в себя перечисленные выше множества

.

Для множества иррациональных чисел специального обозначения не вводят, так как это множество – есть разность R\Q. По определению это действительные числа, которые не являются рациональными.

Рассмотрим подробнее свойства арифметических операций. Каждая из арифметических операция производится над двумя числами, т.е имеет два операнда, а сама операция называется бинарной.

Для сложения и умножения чисел выполняются следующие свойства(законы):

1. сложение чисел коммутативно: ;

2. сложение чисел ассоциативно: ;

3. умножение чисел коммутативно: ;

4. сложение чисел ассоциативно: ;

5. сложение и умножение связаны законом дистрибутивности: .

Вычитание и деление чисел вводятся как операции, обратные по отношению к сложению и умножению.

Разностью чисел a и b называют такое число d, что .

Вычитание чисел можно определить (эквивалентным образом) по другому, подчеркивая особую роль числа нуль. В самом деле, число нуль обладает важным свойством: для любого числа а имеет место равенство а+0=а. Поэтому для любого числа а имеется противоположное число (-а) такое, что а+(-а)=0. Теперь разность а-b можно определить, как сумму числа а с числом, противоположным b:

.

Аналогичным образом вводится операция деления. Особую роль здесь играет число 1 (единица): для любого числа а справедливо равенство . Для любого числа а, отличного от нуля, имеется обратное число такое, что . Поэтому операцию деления чисел а и b можно определить, как умножение числа а на число, обратное к b:

.

В отличие от сложения и умножения операции вычитания и деления чисел не удовлетворяют законам коммутативности и ассоциативности. Более того, если сложение и умножение двух любых натуральных чисел дает натуральное число, то при их вычитании или делении может получиться и не натуральное число. Поэтому говорят, что вычитание и деление не определены на множестве натуральных чисел (имея в виду, что они не выполняются для всех натуральных чисел). В этом смысле операция деления на отличное от нуля число не определена также и на множестве целых чисел.

Определим теперь понятие алгебраической операции, обобщающей арифметические действия. Пару чисел называют упорядоченной, если указано, какое число в этой паре является первым, а какое – вторым. Например, в упорядоченной паре (а,b) число а - первое, а число b – второе.

Определение 1. n-арной операцией на множестве А называется правило, по которому всякой упорядоченной n-ке элементов из А поставлен в соответствие некоторый единственный элемент .

Определение 2. Бинарной операцией на множестве А называется правило, по которому всякой упорядоченной паре элементов из А поставлен в соответствие некоторый единственный элемент

Будем говорить, что на множестве А определена бинарная алгебраическая операция (обозначим ее символом ), если каждой упорядоченной паре паре (а,b) элементов этого множества ставится в соответствие элемент из этого же множества А.

Задание бинарной операции на множестве А равносильно заданию отображения множества в множество А: .

Определим основные свойства (или законы) алгебраических операций.

Пусть на множестве А определена алгебраическая операция *. Говорят, что эта операция:

1. коммутативна, если ;

2. ассоциативна, если ;

Операции сложения и умножения подчиняются законам коммутативности ассоциативности на любом из множеств N, Z, Q, R.

Приведем примеры некоммутативных и неассоциативных операций.

Пример 3. Доказать, что

а) операция вычитания на множестве целых чисел не является коммутативной и ассоциативной;

б) операция «вычитания по модулю»: определенная на множестве целых чисел является коммутативной, но не является ассоциативной;

в) операция «умножения на модуль»: определенная на множестве целых чисел не является коммутативной, но ассоциативна.

Решение.

а) Для опровержения какого-либо свойства достаточно привести контрпример:

; - коммутативность;

; - ассоциативность;

б) для любых целых чисел а и b справедливо равенство

- коммутативность;

Но эта операция не является ассоциативной, т.к.

;

в) для любых целых чисел а , b и с справедливо равенство

- ассоциативность.

Но эта операция не является коммутативной, так как это свойство не выполняется, например для чисел 1 и (-2):

.

Для алгебраической операции можно определить обратную операцию.

Пусть на множестве А определена операция и выполняются два условия:

1. в А существует нейтральный элемент относительно операции * такой, что

;

2) существует симметричный элемент такой, что

.

В аддитивной терминологии нейтральный элемент называется нулевым и обозначается символом , а в мультипликативной терминологии он называется единичным и обозначается символом .

В аддитивной терминологии симметричный элемент называется противоположным элементу и обозначается символом , а в мультипликативной терминологии он называется обратным к и обозначается символом .

Тогда для любой пары (а,b) можно определить операцию , положив

.

В самом деле, элемент принадлежит А, поскольку ,

а операция определена в А. Тем самым определена операция , которую можно считать обратной по отношению к операции .

Покажем, что для сложения эти два условия выполняются на множествах Z, Q, R, поэтому на этих множествах определена обратная операция – операция вычитания. В самом деле, в каждом из множеств Z, Q, R для операции сложения имеется «нейтральный элемент» - нуль: для любого а. Кроме того, для любого числа а существует «обратный элемент» - противоположное число (-а): , причем противоположное число (-а) принадлежит тому же множеству, что и а. Осталось определить разность чисел , как сумму числа а с числом, противоположным числу b. Таким образом условия 1) и 2) позволяют определить операцию вычитания.

Исследуем, на каких множествах можно определить операцию деления. Сначала рассмотрим множества Q, R. Операция умножения, определенная на этих множествах, удовлетворяет условиям 1) и 2). Действительно, существует «нейтральный» для операции умножения элемент – единица: . Кроме того, для каждого числа а, отличного от нуля, существует «обратный элемент» - число : . Следовательно, на множествах можно определить частное , как произведение числа а на число, обратное к b, т.е. операцию деления, обратную к умножению.

Операция деления не определена на множествах N и Z.

Таким образом, вычитание определено на множествах Z, Q, R, а деление – на множествах .