10

Тема 2. Множества и операции над ними

Определение (Кантор). Множество это совокупность определенных и различимых между собой объектов (элементов), мыслимых как единое целое.

Множества принято обозначать прописными буквами А,В,С,…, а их элементы строчными буквами a,b,c,…. Если а является элементом множества А, то пишут (а принадлежит множеству А). Если же а не является элементом множества А, то пишут (а не принадлежит множеству А).

Множества могут быть заданы перечислением всех своих элементов. При этом составляющие множество элементы указываются в фигурных скобках. Например, запись означает, что множество А состоит из элементов a,b,c. Порядок, в котором перечислены элементы множества, не играет ни какой роли, например .

Однако этот способ применим лишь к конечным множествам, т.е. таким, которые содержат конечное число элементов. Бесконечные же множества определять с помощью списка нельзя. Чаще множество задается указанием характеристического свойства, присущего только элементам множества, которое формулируется в виде высказывания(утверждения) P(x), которое в зависимости от значений параметра х может быть истинным или ложным. Тогда

обозначает множество Х, состоящее из таких элементов х, для которых высказывание Р(х) истинно.

Например,

а) ,

б) {прямоугольник: прямоугольник с равными сторонами}={ромб: ромб с равными диагоналями} – множество квадратов.

Для формулировки характеристических свойств, а также других утверждений и высказываний, применяются сокращения: - символ (квантор общности) заменяет слова «для каждого», «для любого», «для всех»; - символ (квантор существования) читается как слово «существует».

Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым множеством и обозначается символом .

Если каждый элемент множества А принадлежит множеству В, то говорят, что А является подмножеством В, и пишут ( А содержится в В ) или ( В содержит А ). Пустое множество считается подмножеством каждого множества. Если А произвольное множество, то и .

Два множеств называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов. Равенство означает, что одно и то же множество обозначено разными буквами.

Если все рассматриваемые в ходе рассуждения множества являются подмножествами некоторого множества U , то это множество называется универсальным для данного рассуждения.

Пример 1. Сколько подмножеств имеет множество ? Ответ: 8.

Решение. Подмножества: пустое множество , одноэлементные подмножества – {1},{2},{3}; двухэлементные подмножества – {1,2},{2,3},{1,3}; само множество {1,2,3}.

Операции над множествами

Для наглядного представления операций над множествами используют диаграммы Эйлера-Венна. Универсальное множество U изображают в виде прямоугольника, а его подмножества – в виде эллипсов.

Пусть даны два множества А и В.

Объединением множеств А и В называется множество , состоящее из элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств А и В

.

Пересечением множеств А и В называется множество , состоящее из элементов, принадлежащих как множеству А , так и множеству В

.

Разностью(относительным дополнением) множеств А и В называется множество , состоящее из элементов множеств А , не принадлежащих множеству В

.

Симметричной разностью множеств А называется множество , состоящее из элементов принадлежащих только одному из двух множеств А или В и не принадлежащих другому

.

Абсолютным дополнением множества А называется множество всех элементов, которые не принадлежащих множеству А

.

Пример 2. Пусть и . Найти объединение , пересечение , разности и , симметричную разность .

Решение. По определению имеем: , , , , .

Декартово произведение. Пусть X и Y – произвольные множества. Пару элементов , , взятых в указанном порядке, будем называть упорядоченной парой, считая при этом, что тогда и только тогда, когда . Декартовым произведением двух множеств X и Y называется множество всех упорядоченных пар :

.

Пусть, например, R – множество всех вещественных чисел. Тогда декартов квадрат есть просто множество всех декартовых координат точек плоскости относительно заданных координатных осей. Аналогичным образом можно было бы ввести декартово произведение трех множеств, четырех и т.д. При пишут сокращенно вместо и говорят об n-й декартовой степени множества X . Элементами являются упорядоченные наборы .