Порядок проведення лабораторних занять
1. Кожний працюючий на ПЕОМ повинен прийти на своє робоче місце за 5 хвилин до початку зміни і підготувати своє робоче місце.
2. В разі виявлення хоч одного із пошкоджень треба негайно повідомити завідуючого кафедрою або завідуючого лабораторією з метою негайного ліквідування недоліків.
3. Перед початком роботи необхідно ознайомитись з записами в змінному журналі про попередні неполадки і готовність ПЕОМ до роботи.
4 Кожний робітник і студент, який працює на ПЕОМ, повинен утримувати робоче місце в безперечному стані. Для цього потрібно не допускати відхилень від нормального режиму роботи ПЕОМ . Співробітники чи студенти повинні виконувати тільки ту роботу, яку безпосередньо надає зав. кафедри або викладач.
5 Для захисту від електровипромінювання потрібно, щоб на кожній ПЕОМ були захисні екрани. У випадку нещасної події чи раптового захворювання, фактів порушення чи виявленні несправності ПЕОМ, засобів захисту або небезпечними та шкідливими виробничими факторами, що загрожують життю і здоров'ю працівників, необхідно негайно повідомити зав. кафедри або зав. лабораторією.
6 Після закінчення роботи співробітник або студент, які виконували роботу або завдання, повинні старанно оглянути приміщення і ліквідувати помічені недоліки. Після закінчення зміни відключити ПЕОМ, освітлення і тільки після цього зачинити зал, включивши сигналізацію.
Лабораторна робота № 1 моделювання стаціонарного рівняння шредінгера
Мета роботи полягає у засвоєні навичок роботи в системі MATLAB та моделювання стаціонарного рівняння Шредінгера.
Теоретичні відомості
Розглянемо
рішення одновимірного стаціонарного
рівняння Шредінгера частинки, яка
рухається в одновимірному потенціалі
.
При цьому вважатимемо, що його форма
має потенціал, представлений на рис. 1:
в точках
,
потенціал стає нескінченно великим. Це
означає, що в точках
,
розташовані вертикальні стінки, а між
ними знаходиться яма кінцевої глибини.
Для зручності подальшого рішення
запишемо рівняння Шредінгера у вигляді:
,
(1.1)
де
.
(1.2)
З
математичної точки зору завдання полягає
у відшуканні власних функцій оператора
,
що відповідають граничним умовам
,
(1.3)
і відповідних власних значень енергії E.
Так
як
при
і
при
,
,
то можна очікувати, що власному рішенню
даної задачі відповідає власна функція,
що осцилює в класично дозволеної області
руху
(
)
і експоненціально затухаючим в заборонених
областях, де
(
,
),
при
,
.
Оскільки всі стани частки в потенційній
ямі опиняються зв'язаними (тобто
локалізованими в кінцевої області
простору), спектр енергій є дискретним.
Частка, що знаходиться в потенційній
ямі кінцевих розмірів (
при
,
при
),
має дискретний спектр при
та безперервний спектр при
.
Традиційно
для рішення задачі про знаходження
власних значень рівняння Шредінгера
використовується метод пристрілки.
Ідея методу пристрілки полягає в
наступному. Допустимо, як шукане значення
шукається один із зв'язаних станів, тому
як пробне початкове значення енергії
вибираємо негативне власне значення.
Проінтегруємо рівняння Шредінгера
яким-небудь відомим чисельним методом
на інтервалі
.
В ході інтегрування від
в бік більших значень x
спочатку обчислюється рішення
,
експоненціально наростаюче в межах
класично забороненої області. Після
переходу через точку повороту
,
що обмежує зліва область руху дозволену
класичною механікою, рішення рівняння
стає таким, що осцилює. Якщо продовжити
інтеграцію далі за праву точку повороту
,
то рішення стає чисельно нестійким. Це
обумовлено тим, що навіть при точному
виборі власного значення, для якого
виконується умова
,
рішення в області
завжди може містити деяку домішку
експоненціально зростаючого рішення,
що не має фізичного вмісту. Відмічена
обставина є загальним правилом: інтеграція
по напряму усередину області, забороненою
класичною механікою, буде неточним.
Отже, для кожного значення енергії
розумніше обчислити ще одне рішення
,
інтегруючи рівняння від
у бік зменшення x. Критерієм збігу даного
значення енергії є збіг значень функцій
і
у деякій проміжній точці
.
Зазвичай як дану точку вибирають ліву
точку повороту
.
Оскільки функції
,
є рішеннями однорідного рівняння, їх
завжди можна віднормувати так, щоб в
точці
виконувалась умова
.
Окрім збігу значень функцій в точці
для забезпечення гладкості зшивання
рішень зажадаємо збігу значень їх
похідних
:
.
(1.4)
Використовуючи прості ліву і праву кінечно-різницеві апроксимації похідних функцій , в точці , знаходимо еквівалентну умову гладкості зшивання рішень:
,
(1.5)
Число
є масштабуючим множником, який вибирається
з умови
.
Якщо точки повороту відсутні, тобто
,
то в якості
можна вибрати будь-яку точку відрізку
.
Для потенціалів, що мають більше двох
точок повороту і, відповідно, три або
однорідних рішень, загальне рішення
отримується зшиванням окремих шматків.
У описаному нижче документі, для
інтеграції диференціального рівняння
другого порядку ми використовуємо метод
Нумерова. Для здобуття обчислювальної
схеми апроксимуємо другу похідну
триточковою різницевою формулою:
.
(1.6)
З рівняння (16.9) маємо
(1.7)
Підставив (1.6) в (1.7) і перегрупувавши члени, отримуємо
.
(1.8)
Вирахувавши
(1.8) відносно
або
,
знайдемо рекурентні формули для
інтегрування рівняння вперед або назад
по x
з локальною похибкою
.
Відзначимо, що похибка даного методу
виявляється на порядок вище, ніж похибка
методу Рунге-Кутта четвертого порядку.
Крім того даний алгоритм ефективніший,
тому що значення функції
обчислюються лише у вузлах сітки.
Для
знаходження чисельного рішення
виявляється зручним провести
знерозмірюванне рівняння, використовуючи
в якості одиниць виміри відстані а
ширину потенційної ями, в якості одиниц
виміру енергії - модуль мінімального
значення потенціалу
.
У вибраних одиницях виміру рівняння
має вигляд
,
(1.9)
де
,
,
,
.
(1.10)
Таким чином, обчислювальний алгоритм для знаходження власних функцій і власних значень рівняння Шредінгера реалізується наступною послідовністю дій:
1.
Задати вираження, що описує безрозмірний
потенціал
.
2.
Задати значення
.
3. Задати просторову сітку, на якій проводиться інтегрування рівняння.
4. Задати , .
5.
Задати початкове значення енергії
.
6.
Задати кенцеве значення енергії
.
7.
Задати крок зміни енергії
.
8.
Проінтегрувати рівняння для значення
енергії
зліва направо на відрізку
.
9.
Проінтегрувати рівняння для значення
енергії
зправа наліво на відрізку
.
10.
Вирахувати значення змінної
для значения энергии
.
11.
Збільшити поточне значення енергії на
:
.
12.
Проінтегрувати рівняння для значення
енергії
зліва направо на відрізку
.
? 13. Проинтегрировать уравнение для значения энергии справа налево на отрезке .
14.
Вирахувати значення змінної
для значения энергии
.
15.
Порівняти знаки
,
16.
Якщо
і
,
збільшити поточне значення енергії
на
і повторити дії, описані в пп. 817.
17.
Якщо
,
уточнити методом лінійної інтерполяції.
18. Якщо , повторити дії, описані в пп. 818.
19.
Якщо
,
закінчити розрахування.
Для реалізації описаного обчислювального алгоритму в пакеті MATLAB необхідно створити три m-файли: 1) файл Num.m, який містить опис функції, що повертає для заданої енергії величину f, обчислювану у відповідності з (5), і значення хвилевої функції у вузлах координатної сітки; 2) файл U.m, який містить опис функції, повертаючий значення потенціалу; 3) файл Elevel.m, який містить опис функції, що повертає власні значення і власні функції рівняння Шредінгера.
% лістинг файла Num.m
function [f,psi]=Num(gamma,E,V,Xmin,Xmax,Ngreed)
% функція, яка повертає для заданої енергії величину f, що обчислюється
% у відповідності з (18), і значення хвильової функції у вузлах
% координатної сітки
% gamma коефіцієнт, що входить в знерозмірене рівняння
% Шредінгера (1.9)
% E задане значення енергії
% V вектор, який містить значення потенціалу в вузлах координатної
% сітки
% Xmin ліва границя координатної сітки
% Xmax права границя координатної сітки
% Ngreed число вузлів координатної сітки
dx=(Xmax-Xmin)/Ngreed;
c=dx.^2*gamma^2/12;
Imatch=1;
psi(1)=0;
psi(2)=9.99999*10^-10;
% інтегрування рівняння Шредінгера зправа наліво
Kim1=c*(E-V(1));
Ki=c*(E-V(2));
for i=2:Ngreed-1
Kip1=c*(E-V(i+1));
if and(Ki*Kip1<=0,Ki>0)
Imatch=i;
i=Ngreed;
end;
if i<=Ngreed-1
psi(i+1)=(psi(i)*(2-10*Ki)-psi(i-1)*(1+Kim1))/(1+Kip1);
if abs(psi(i+1))>=10^10
for k=1:i+1
psi(k)=psi(k)*9.99999*10^-6;
end;
end;
Kim1=Ki;
Ki=Kip1;
end;
end;
if Imatch==1
Imatch=Ngreed-10;
end;
% інтегрування рівняння Шредінгера зліва направо
psi_Left=psi(Imatch);
psi(Ngreed)=0;
psi(Ngreed-1)=9.99999*10^-10;
Kip1=c*(E-V(Ngreed));
Ki=c*(E-V(Ngreed-1));
for i=Ngreed-1:-1:Imatch+1
Kim1=c*(E-V(i-1));
psi(i-1)=(psi(i)*(2-10*Ki)-psi(i+1)*(1+Kip1))/(1+Kim1);
if abs(psi(i))>10^10
for k=Ngreed:-1:i
psi(k)=psi(k)*9.99999*10^-6;
end;
end;
Kip1=Ki;
Ki=Kim1;
end;
if psi_Left<0
for i=Imatch:Ngreed
psi(i)=-psi(i);
end;
end;
psi1=abs(psi);
Psimax=max(psi1);
% обчислення різниці між хвилевими функціями, отриманими
% інтегруванням рівняння Шредінгера зліва направо і справа наліво,
% в вузлі з номером Imatch
f=(psi_Left+psi(Imatch)-(psi(Imatch-1)+psi(Imatch+1)))/Psimax;
% лістинг файла U.m
function z = U(x,Xmin,Xmax)
% функція, що повертає значення потенціалу у вузлах координатної
% сітки
% x вектор, який містить координати вузлів
% Xmin ліва границя потенціалу
% Xmax права границя потенціалу
if and(Xmin<=x,x<=Xmax)
z=-1;
else
z=10^309;
end;
% лістинг файла Elevel.m
function [EL,Psi]=Elevel(gamma,dE,V,Emax,Xmin,Xmax,Ngreed)
% функція, що повертає власні значення і власні функції
% рівняння Шредінгера
% gamma коефіцієнт, що входить в знерозмірене рівняння
% Шредінгера
% dE приріст енергії
% V вектор, що містить значення потенціалу у вузлах координатної
% сітки
% Emax максимальне значення енергії
% Xmin ліва границя координатної сітки
% Xmax права границя координатної сітки
% Ngreed число вузлів координатної сітки
Tolf=10^-6;
Emin=-1;
E=Emin+dE;
m=1;
Start=0;
while E<Emax
if Start==0
E1=E;
[f,psi]=Num(gamma,E,V,Xmin,Xmax,Ngreed);
E=E+dE;
F1=f;
Start=1;
end;
E2=E;
[f,psi]=Num(gamma,E,V,Xmin,Xmax,Ngreed);
F2=f;
if F1*F2>0
E1=E;
F1=F2;
E=E+dE;
end;
if F1*F2<0
% уточнення власного значення енергії і обчислення значень
% власної функції у вузлах координатної сітки
a=(E2-E1)/(F2-F1);
E=E1-a*F1;
[f,psi]=Num(gamma,E,V,Xmin,Xmax,Ngreed);
F1=F2;
E1=E2;
EL(m,1)=m;
EL(m,2)=E;
if m==1
Psi0=psi';
else
Psi0=cat(2,Psi0,psi');
end;
m=m+1;
E=E+dE;
end;
end;
dx=(Xmax-Xmin)/(Ngreed-1);
N1=size(Psi0,2);
% нормування власних хвильових функцій
for i=1:N1
S=Psi0(:,i);
S1=S.^2;
Norm=0;
for j=1:Ngreed-1
Norm=Norm+0.5*(S1(j)+S1(j+1))*dx;
end;
S=S./(Norm^0.5);
if i==1
Psi=S;
else
Psi=cat(2,Psi,S);
end;
end;
Далі необхідно виконати наступну послідовність команд:
>> Xmin=-0.5; % ліва границя координатної сітки
>> Xmax=0.5; % права границя координатної сітки
>> gamma=20;
>> Ngreed=500; % число вузлів координатної сітки
% обчислення координат вузлів сітки
>> i=1:Ngreed;
>> x(i)=Xmin+(Xmax-Xmin)/(Ngreed-1)*(i-1);
>> dE=10^-3; % приріст енергії
>> Emax=-0; % максимальне значення енергії
>> V(i)=U(x(i),Xmin,Xmax); % обчислення значення потенціалу у вузлах
% координатної сітки
% обчислення власних значень і власних функцій рівняння
% Шредінгера
>> [EL,Psi]=Elevel(gamma,dE,V,Emax,Xmin,Xmax,Ngreed);
>> EL
EL =
1.0000 -0.9751
2.0000 -0.9005
3.0000 -0.7761
4.0000 -0.6020
5.0000 -0.3782
6.0000 -0.1046
% візуалізація власних функцій
>> plot(x(i),Psi(:,1),'k',x(i),Psi(:,2),'--k',x(i),Psi(:,3),'-.k');
>> plot(x(i),Psi(:,4),'k',x(i),Psi(:,5),'--k',x(i),Psi(:,6),'-.k');
Результат виконання описаної послідовності команд представлений
на рис. (1.1), (1.2), (1.3).
Рис. 1.2 Хвильові функції, що відповідають першому, другому і третьому власним значенням енергії
Рис. 1.3 Хвильові функції, відповідні четвертому, п'ятому і шостому власним значенням енергії