2.4 Двічі експоненціальна крива зростання вбр

Ця крива зростання вірогідності успіху описується наступною залежністю

, (2.20)

і є , як і логістична крива, S – образною (крива Гомпертца).

У загальному випадку оцінювання параметрів моделі, формула (2.20) вимагає застосування методів нелінійного програмування з використанням ЕОМ. У окремому випадку, коли отримані апріорні оцінки параметрів P_∞ та P_o, може бути використана наступна спрощена процедура оцінювання параметра с.

Нехай відомі результати відпрацьованих випробувань для L етапів відпрацювання, які задовільняють вимогам m_j ≠ 0 для усіх j = . Тоді оцінка параметру с визначається за формулою

ĉ = (2.21)

де y_j визначаемо за наступною залежністю

y_j = . (2.22)

Вирішуємо нерівність (2.23) відносно параметра b та отримаємо залежність (2.24)

≥ P_т (2.23)

b ≥ . (2.24)

2.4.1 Методика та послідовність виконання практичної роботи №4 (до п. 2.4) за темою: «Двічі експоненціальна крива зростання вбр»

Вихідні дані до розрахунку наведені у додатку А2 та А3.

Відомі апріорні оцінки P_∞ та P_o (додаток А2), а також необхідне значення ВБР у кінці відпрацювання Р_т (додаток А2). Планується завершити відпрацювання за L етапів (додаток А3).

Необхідно визначити при яких значеннях параметра b моделі, мета відпрацювання є досяжною.

Послідовність виконання розрахунку

1 Розрахувати значення параметра b моделі за формулами (2.23) та (2.24).

2 Зробити висновки, щодо значень отриманого параметру (мета експериментального відпрацювання).

2.5 Апріорне моделювання зростання вбр

На практиці часто виникає необхідність аналізу експериментального відпрацювання до початку його проведення. Одне із завдань такого аналізу полягає у побудові моделі зростання надійності, виходячи з імовірнісного механізму прояву та усунення джерел відмов (ДВ) [4, 5, 6, 7].

Основні допущення, які прийняті при побудові моделі:

- на початку відпрацювання виріб має кінцеве число джерел відмов (ДВ), яке дорівнює N;

- відмови, які викликані різноманітними ДВ, є несумісними подіями;

- якщо у результаті і -го випробування виникає відмова, то ДВ що його викликав усувається з вірогідністю q_νi, де ν – номер ДВ (ν = );

- після успішного випробування може бути усунений будь-який із джерел відмов (ДВ) із вірогідністю s_νi (ν = ; i = 1, 2, ……);

- в даних умовах відпрацювання де-яка частина ДВ є неусувною.

При виконанні цих допущень для процесу підвищення надійності відпрацьованого виробу справедлива наступна система рівнянь

P_i+1 – P_i = ( ∙ q_νi) ∙ P_i + ∙ q²_νi,

(2.25)

q_{ν (i-1)} – q_νi = – (s_νi ∙ P_i + _νi ∙ q_νi) ∙ q_νi,

де Р₁ = Р_о, P_i – ВБР у і-му випробуванні;

q_νi – вірогідність виникнення у і-му випробуванні відмови, яка викликана ν –м ДВ;

q_ν1 = с_ν;

ν = ;

g_νi – вірогідність усунення ν-го ДВ доопрацюванням, яке проведено після відмови, що викликана цим ДВ;

s_νi – вірогідність усунення ν-го ДВ доопрацюванням, яке проведено після успішного результату і-го випробування;

N₄ - кількість усунутих ДВ.

Розглянемо окремі випадки рівняння (2.25):

1 Якщо доопрацювання виробу проводиться тільки після відмов, приблизно рішення системи (2.25) має наступний вигляд

P_i = P_∞ – , (2.26)

де P_∞ = 1 – .

Ще у більш частому випадку рівних значень початкових вірогідностей q_ν1, ν = , отримаємо наступну залежність зростання ВБР від числа проведених випробувань

, (2.27)

де g = g_ν; ν = .

2 Якщо усі усунуті ДВ є рівноцінними, тобто с = с_ν; s_νi = s; g = g_νі; ν = , і = 1, 2, ……., то система рівнянь (2.25) приводиться до одного рівняння

, (2.28)

яке має приблизне явне рішення

P_i = , (2.29)

де ; .

3 При α = 0, а це відповідає відпрацюванню виробу з більшим числом ДВ, які можна усунути, такими, що s , чи проведенню доопрацювань тільки після успішних випробувань, залежність (2.29) переходить у логістичну криву (2.16) із параметром b = s ∙ P_∞.

4 При β = 0 залежність (2.27) також спрощується і стає

експоненціальною, тобто приймає вигляд (2.4), причому

5 Із рівняння (2.27) знаходиться кількість дослідних зразків М, які необхідно виготовити для підвищення ВБР із значення Р_о до Р_т

. (2.30)