
- •Лекция 1. Составные высказывания. Основные понятия
- •Составные высказывания
- •Лекция 2. Основные логические операции. Формулы логики. Дизъюнктивная конъюнктивная нормальные формы. Логические операции.
- •Стрелка Пирса - ↓.
- •Формулы логики высказываний
- •Лекция 3. Изучение законов логики. Равносильные преобразования. Законы логики (свойства логических операций)
- •Логическое следствие
- •Лекция 4. Булевы функции.
- •Лекция 5. Совершенная дизъюнктивная и конъюнктивная нормальные формы (сднф и скнф)
- •Лекция 6. Понятие полноты множества функций. Замкнутые классы.
- •Лекция 7. Множества и подмножества.
- •Сравнение множеств.
- •Лекция 8. Операции над множествами
- •Свойства операций над множествами.
- •Лекция 9. Понятие предикат.
- •Лекция 10. Логические операции над предикатами. Операции над предикатами.
- •Кванторы.
- •Операции с кванторами.
- •Лекция 11. Понятие бинарного отношения и его свойства. Отношения.
- •Отношения на множестве.
- •Виды отношений:
- •Инъекция.
- •Сюръекция.
- •Биекция.
- •Лекция 12. Отношение эквивалентности.
- •Лекция 13. Композиция отображений Равенство соответствий
- •Произведение соответствий (композиция)
- •Композиция отображений. Ее свойства
- •Лекция 14. Операции над подстановками.
- •1: Коммутативность.
- •2: Ассоциативност ь.
- •3: Единица.
- •4: Обратный элемент.
- •Лекция 15. Понятие вычета по модулю n. Операции над вычетами. Шифрование.
- •Лекция 16. Метод математической индукции
- •Лекция 17. Генерирование к-элементных подмножеств данного множества
- •Размещения.
- •Формула числа размещений без повторений.
- •Другой вид формулы числа размещений.
- •Перестановки.
- •Свойства сочетаний.
- •Размещения с повторениями.
- •Задача о числе подмножеств данного множества.
- •Перестановки с повторениями.
- •Сочетания с повторениями.
- •Лекция 18. Понятие графа. Способы задания графа. Методика выделения компонента связности в графе
- •Смежность и инцидентность
- •Лекция 19. Изоморфные графы. Эйлеровы графы. Изоморфизм графов
- •Требования к представлению графов
- •Эйлеровы графы Вернемся к историческому примеру о Кенигсбергских мостах. В каком случае в графе можно найти цикл, в котором каждое ребро участвует ровно один раз?
- •Лекция 20. Плоские графы. Деревья и их свойства
- •Лекция 21. Понятие ориентированного графа
- •Орграфы и матрицы
- •Лекция 22. Сильносвязный орграф. Эйлеровы орграфы Ориентированные эйлеровы графы
- •Лекция 23. Базовые множества и принцип работы автоматов
- •Минимизация автоматов
- •Алгоритм минимизации автомата Мили
Лекция 4. Булевы функции.
Переменная х,
принимающая значения 0 или 1, называется
булевой (или логической, двоичной).
Функция F,
зависящая от булевых переменных
и принимающая также значения 0 или 1,
называется булевой (или логической,
двоичной) и обозначается
.
Булевы функции F
от n
переменных
могут быть заданы посредством таблицы
истинности, содержащей
строк и
столбцов. В левой части таблицы содержатся
наборы значений n
переменных, расположенные в порядке
возрастания их десятичного эквивалента,
а в правой ее части
значения функции F
на соответствующих наборах значений
переменных.
В качестве примера
рассмотрим таблицу истинности некоторой
булевой функции F,
зависящей от переменных
,
и
.
|
|
|
F |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
Булева функция n
переменных F
однозначно определяется
- разрядным
булевым вектором ее значений w(F)
(т.е. w(F)
таблица истинности функции F).
Например, в этом примере имеем
w(F)=(00100111).
Рассматриваемая булева функция F принимает значения 0 на наборах 000, 001, 011 и 100, а значение 1 на наборах 010, 101, 110 и 111.
Множество наборов, на которых функция F принимает значение 1, называется характеристическим и обозначается через NF. В настоящем примере имеет место NF = (010, 101, 110, 111).
Общее число
различных булевых функций F
от n
переменных равно
.
Т.е. число булевых функций от двух
переменных равно
,
от трех переменных
.
Элементарные булевы функции. Равносильности
Булевых (или
логических) функций от одной переменной
.
Они приведены в следующей таблице:
|
0 |
|
отрицание
|
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
Основные элементарные булевы функции от двух переменных приведены в следующей таблице:
|
|
конъюнк- ция
|
дизъюнк- ция
|
имплика- ция |
эквивален-тность
|
сложение по модулю два
|
стрелка Пирса
|
штрих Шеффера
|
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
Функция
называется конъюнкцией, ее обозначают
также
, но чаще всего знак конъюнкции аналогично
знаку умножения опускают и пишут
.
Конъюнкция
равна единице, только если
=1
и
=1
одновременно, поэтому ее часто называют
функцией И. Еще одно название конъюнкции
― логическое умножение, поскольку ее
таблица истинности действительно
совпадает с таблицей обычного умножения
для чисел 0 и 1.
Функция называется дизъюнкцией. Дизъюнкция равна единице, только если =1 или =1 (т.е. хотя бы одна переменная равна единице), поэтому ее часто называют функцией ИЛИ.
Кроме таблицы
истинности, булевы функции могут быть
заданы аналитически с помощью формул.
Например,
.
Если формула a реализует булеву функцию F, которая тождественно равна единице, то она называется тождественно истинной. Если формула a реализует булеву функцию F, которая тождественно равна нулю, то она называется тождественно ложной.
Если формулы a и b зависят от одних и тех же переменных и реализуют одну и ту же булеву функцию F, то формулы a и b называются равносильными.
Основные равносильности
Закон двойного отрицания
.
Идемпотентность
,
.
Коммутативность
,
.
Ассоциативность
,
.
Дистрибутивность
,
.
Законы де Моргана
,
.
Формулы с константами
,
,
,
,
,
.
Дополнительные равносильности
,
,
,
,
,
,
,
,
,
(законы
склеивания),
(закон поглощения).
(закон обобщенного
склеивания).
Переменная
булевой функции F
называется несущественной (или фиктивной),
если
,
то есть если изменение значения
в каждом наборе значений
не меняет значения функции. При этом
существует такая формула, реализующая
эту булеву функцию, в которой отсутствует
.
Пример.
С помощью основных равносильностей
доказать, что в булевой функции F
=
переменная
является фиктивной.
Решение. Применяя закон поглощения и закон склеивания, получим
F
=
.
Так как существует такая формула, реализующая эту булеву функцию, в которой отсутствует , то эта переменная является фиктивной.
Пример. С помощью таблицы истинности убедиться в справедливости законов де Моргана .
Решение.
Построим таблицу истинности для
и
.
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
Так как в таблице истинности булевым функциям и соответствуют одинаковые столбцы, то формулы и равносильны.
Пример. С помощью основных равносильностей доказать закон обобщенного склеивания .
Решение.
Применяя закон
склеивания (в обратном порядке, то есть
)
и дистрибутивность (то есть вынесем за
скобки
и
),
получим
.
Пример.
С помощью основных равносильностей
доказать, что
.
Решение. Применяя основные равносильности, получим
.