Лекция 13. Композиция отображений Равенство соответствий

Утверждение. Пусть соответствие f, g Í АхВ, А, В , f=g  когда аÍ А, f(а)=g(а).

Образ и прообраз множества

Пусть нам даны множества А₁, В₁, А, В , f Í АхВ связаны А₁ Í А_, В₁Í В.

Образом множества А₁ будем называть , а полным прообразом множества В₁ .

Пример. f Í RхR

f(х)=х²

f([-1;1])=[0;1]

А₁=[-1;1]

В₁=[-2;-1]

f^-1([-2;-1])=0

f^-1([-1;0])=0 f^-1([1;2])=[1;2][-2;-1]

f([1;4])=[1;16]

Произведение соответствий (композиция)

Определение. Пусть нам даны соответствия fÍ АхВ, gÍ CхD, то композицию соответствия gf будет представлять собой gf Í АхD и действовать так: "а Î А: (gf)(а)= g(f(а))

Пример. f Í Rх[-1;1] g Í [-1;2]х[-4;8]

f(х)=sinх g(х)=4х

Нужно построить gf и fg.

gfÍ Rх[-4;8] fgÍ [-1;2]х[-1;1]

1) фиксируем элемент хR

(gf)(х)= g(f(х))= 4sinх

2) фиксируем элемент х[-1;2]

(fg)(х)=f(g(х))= 4sinх

Пример. f Í АхВ Í СхD

f_А,В _{С, D}= _{C, В}

g Í FхE Í PхL

_{P, L}g_{F, E}= _{F, L}

Утверждение. Пусть нам даны два соответствия f Í АхВ и , g Í СхD, для того, чтобы их композиция представляла не пустое соответствие gf  E_f  D_g .

Доказательство:

Необходимость:

Дано: gf

Доказать: E_f  D_g .

Доказательство:

gf  существует а А: (gf)(а)   g(f(а))  

существует d D:d g(f(а)) 

существует b f(а); b Е_f  b D_g  b E_f  D_g .

Достаточность:

Дано: E_f  D_g

Доказать: gf

Доказательство:

E_f  D_g  найдется такой элемент с E_f и с D_g.

существует а А: с f(а); существует d D: d g(с), g(с) Í g(f(а))

по определению отношения включения d g(f(а))  d (gf)(а)  gf .

Свойства ассоциативности для композиции соответствий

fÍ АхВ, gÍ CхD, hÍ EхF

h (gf)= (h g)f

gf Í АхD h (gf) Í АхF (h g)f Í АхE

Докажем свойство ассоциативности h (gf), (h g)fÍ АхF.

Зафиксируем элемент а А и подействуем на него (h (gf))(а)= h (gf)(а)= h(g(f(а))= (h g)(f(а))= ((h g) f)(а).

Композиция отображений. Ее свойства

Пусть f:АВ, g:ВC, тогда

1 gf является отображением и действием

gf: АC

2 если g и f инъективные отображения, то и композиция gf также инъективное отображение

3 если g и f сюръективные отображения, то и композиция gf - сюръективное отображение

4 если g и f биективные отображения, то и композиция gf - биективное отображение

1 Пусть gf  АхC, зафиксируем аА

Доказательство:

Подействуем на этот элемент (gf)(а)= g(f(а)).

Для доказательства того, что соответствующий f является отображением можно использовать утверждение: аА f(а)=1, f  АхВ.

Из того, что f и g являются отображением  аА gf(а)=1  gf: АC.

2 Зафиксируем элементы а₁, а₂ А.

Доказательство:

Подействуем нашим отображением на а₁ (gf)(а₁)= (gf)(а₂)  а₁=а_2. Рассмотрим равенство (gf)(а₁)= g(f(а₁))= g(f(а₂))  f(а₁)= f(а₂)  а₁=а_2.

3 Дано: g и f сюръективные

Доказать: gf сюръективное отображение

Доказательство:

Покажем, что сС имеет прообраз во множестве А. Зафиксируем сС. Из того, что g сюръективно следует, что существует bB: g(b)=с.

Так как f сюръективно следует аА: f(а)=b, g(f(a))=c, (gf)(a)=c следует gf сюръективно.

А f В g С

а b c

gf

4Доказательство следует из доказательств 2 и 3.