Глава 2. Основы теории нечётких множеств. Элементы математической

ЛОГИКИ

1. Понятие нечёткой и лингвистической переменной

Нечёткая переменная характеризуется тройкой (Ы,Х,К(Ы,х)), где N - название переменной; X - универсальное множество с базовой перемен­ной х; х) - нечёткое подмножество множества X, представляющее со­

бой нечёткое ограничение на значения переменной х, обусловленное N.

Предположим, что

Х=1+2+...+10.

Тогда нечёткое подмножество, описываемое понятием несколько, можно записать, например, в виде:

«несколько» = 0,5/3 + 0,8/4 + 1/5 + 1/6 + 0,8/7 + 0,5/8.

Аналогично, если Х - интервал [0, 100] с элементами переменной возраст, то нечёткие подмножества, описываемые понятиями «молодой» и «старый», можно представить в виде:

0 £ x < 25

0 £ x < 50

0,

50 £ x £ 100

1,

В общем случае значениями таких переменных могут быть слова или предложения естественного или формального языка, и тогда соответству­ющие переменные называют лингвистическими. Так, например, нечёткая переменная «высота» могла бы принимать следующие значения: высокий, невысокий, довольно высокий, очень высокий, высокий, но не очень, вполне высокий, более или менее высокий. Эти значения представляют со-

бой предложения, образованные понятием «высокий», отрицанием не, со­юзами и, но, а также словами типа очень, довольно, вполне, более или ме­нее.

Рис. 2.1. Графическое представление терминов «молодой» и «старый»

Лингвистическая перемен­ная является переменной более высокого порядка, чем нечёткая переменная, в том смысле, что значениями лингвистической переменной являются нечёткие переменные. Лингвистические переменные предназначены в основном для анализа сложных или плохо определённых явле­ний. Использование словесных описаний типа тех, которыми оперирует человек, делает возможным анализ систем настолько сложных, что они не­доступны обычному математическому анализу.

Более точно структура лингвистической переменной описывается набором (И, Т,Х, 0,М), в котором N - название этой переменной; Т - терм- множество И, то есть совокупность её лингвистических значений; X - уни­версальное множество с базовой переменной х; G - синтаксическое прави­ло, которое может быть задано в форме бесконтекстной грамматики, по­рождающей термы множества Т; М - семантическое правило, которое каж­дому лингвистическому значению ? ставит в соответствие его смысл М(?), причём М(?) обозначает нечёткое подмножество множества X.

Значениями лингвистической переменной являются нечёткие множе­ства, символами которых являются слова и предложения в естественном или формальном языке, служащие, как правило, некоторой элементарной характеристикой явления.

2. Фаззификация, дефаззификация и база знаний

Нечёткие модели являются связующим звеном между двумя подхо­дами - количественным и качественным моделированием, и являются наиболее приемлемыми для описания слабо формализованных процессов.

С помощью нечётких логических систем имеется возможность ими­тации мыслительных способностей человека при описании управления процессами, используя сравнительно небольшое количество правил.

Типичным примером является задача регулирования температуры в помещении, представленная в работах Бгаее М., КиШеГогё Б. [1]. При от­носительно медленном процессе нагрева помещения, нечёткий регулятор гарантированно поддерживает заданную температуру, колеблющуюся во­круг требуемого значения.

Следует отметить, что обеспечение точности является дорогостоя­щей процедурой. Действительно, проектирование оптимального контрол­лера потребовало бы построения модели, учитывающей функционирова­ние системы центрального отопления дома, потери тепла через стены и ок­на. Результирующий контроллер оказался бы значительно более сложным, дорогим в производстве и менее понятным для оператора. Но поскольку более простое решение выполняет поставленную задачу с требуемым ка­чеством, нет необходимости в более сложном решении.

В настоящее время наибольший прогресс в проектировании интел­лектуальных систем управления (ИСУ) достигнут для систем со свойством «интеллектуальности в малом» [12]. Это означает, что управляющие си­стемы, структурно не организованные, в соответствии с приведёнными выше принципами ИСУ, используют при своём функционировании знания (например, в виде правил) как средство преодоления неопределённости входной информации, модели управляемого объекта или его поведения.

Известные направления в данном классе ИСУ - нечёткие регуляторы (НЛР) и нейронные сети.

Использование нечётких дифференциальных или разностных урав­нений целесообразно в силу их наибольшего соответствия ИСУ «в малом». При этом использование нечётких моделей обеспечивает относительно простой способ управления сложными системами, которые обладают су­щественным нелинейным поведением. Обычно, нечёткие правила, из кото­рых состоит нечёткий контроллер, представляют собой знания или опыт оператора. На рис. 2.2 представлена общая схема нечёткого регулятора.

Рис. 2.2. Нечёткий регулятор в замкнутой системе управления

Нечёткие регуляторы с фиксированной базой знаний (БЗ) известны как статические нечёткие регуляторы. Они были разработаны в 1970-е го­ды как результат внедрения фундаментальных работ Заде Л. [8, 9] в задачи автоматического управления. Первые публикации и значительные резуль­таты были получены в исследовательских группах, возглавляемых Машёаш Е. Н. [8], начиная с 1970-х. База знаний контроллера (управляю­щих правил) формируется путём извлечения знаний оператора, следивше­го ранее за ходом протекания процесса. Процедура управления представ­ляла собой процедуру моделирования, а окончательное решение принимал оператор. Следующим шагом в направлении развития нечётких регулято­ров как адаптивных контроллеров является создание самоорганизующихся нечётких логических контроллеров. Впервые они были предложены Ргоеук ТН., Машёаш Е. Н. [6].

Вопросы самоорганизации и самообучения в системах управления с нечёткой логикой исследованы также в работах Nguyen D., Scharf H., Mandic N., Mamdani E.H. [4, 7]. Подобные системы широко использовались в управлении процессами, в которых построение модели было затруднено, либо ожидались большие изменения значений параметров в процессе функционирования системы.

НЛР состоит из настройки трёх взаимосвязанных блоков (фаззифи- кация, БЗ, дефаззификация), при этом формирование второго блока бази­руется на методах представления и поиска знаний. Основная роль в этом процессе отдаётся оператору-эксперту, в качестве которого выступает ква­лифицированный специалист или знающий данную предметную область инженер. Т.е. и в данном случае процесс составления БЗ носит субъектив­ный характер [18, 20].

Важным условием эффективного функционирования НЛР является построение непротиворечивой и оптимально полной БЗ. При этом, зача­стую, адекватность БЗ зависит от величины среза объёма выборки экс­пертных оценок, что является в большинстве случаев взаимоисключаю­щим фактором.

Как известно из теории экспертных систем [11, 19], функционирова­ние БЗ осуществляется надстроенной машиной логического вывода (МЛВ), которая представляет собой механизм рассуждений, оперирующий знаниями и с целью получения новых знаний. Для этого обычно использу­ется программно реализованный механизм дедуктивного логического вы­вода (какая-либо его разновидность) или механизм поиска решения в сети фреймов или семантической сети [16, 17, 47, 53]. МЛВ может реализовы­вать рассуждения в виде:

• дедуктивного вывода (прямого, обратного, смешанного);

• нечёткого вывода;

• вероятностного вывода;

• поиска решения с разбиением на последовательность подзадач;

• поиска решения с использованием стратегии разбиения простран­ства поиска с учётом уровней абстрагирования решения или понятий, с ними связанных;

• монотонного или немонотонного рассуждения,

• рассуждений с использованием механизма аргументации;

• ассоциативного поиска с использованием нейронных сетей;

• вывода с использованием механизма лингвистической переменной.

Задачи принятия решений в условиях определённости характеризу­ются наличием полной и достоверной информации о проблемной ситуа­ции, целях, ограничениях и последствиях принимаемых решений [27]. В таких задачах заранее, в процессе анализа, известно, к какому исходу при­ведёт каждая из стратегий. В частности, это означает, что все факторы из­вестны, учтены и не могут каким-либо непредвиденным образом повлиять на исход операции. В этом случае МЛВ настраивается на работу с класси­ческими методами, такими как фреймы и механизмы дедуктивного логиче­ского вывода [25, 26, 29].

В отличие от отмеченного, характерной особенностью задач приня­тия решений в условиях неопределённости является то, что исход опера­ции зависит не только от экспертов (лиц принимающих решения) и фикси­рованных факторов, но и от слабо определённых показателей, неконтроли­руемых экспертами и(или) недостоверно известных им в момент принятия решения [34, 62]. В результате каждая экспертная стратегия оказывается связанной с множеством возможных исходов итоговой операции, что су­щественно усложняет процедуру выработки решения. Для приведённого класса задач наилучшим образом подходит настройка МЛВ на нечёткий вывод.

Должное функционирование МЛВ, настроенной на нечёткий вывод, требует при формировании и обновлении БЗ соответствующих экспертных стратегий.

Как уже отмечалось выше, применение нечёткой логики обеспечи­вает принципиально новый подход к проектированию систем управления, «прорыв» в новые информационные технологии, гарантирует возмож­ность решения широкого круга проблем, в которых данные, цели и огра­ничения являются слишком сложными или плохо определёнными и в силу этого не поддаются точному математическому описанию.

Возможны различные ситуации, в которых могут использоваться не­чёткие модели динамических систем [27]:

• когда имеется некоторое лингвистическое описание, которое от­ражает качественное понимание (представление) процесса и позволяет непосредственно построить множество нечётких логических правил;

• имеются известные уравнения, которые (хотя бы грубо) описывают поведение управляемого процесса, но параметры этих уравнений не могут быть точно идентифицированы;

- известные уравнения, описывающие процесс, являются слишком сложными, но они могут быть интерпретированы нечётким образом для по­строения лингвистической модели;

• с помощью входных/выходных данных оцениваются нечёткие логические правила поведения системы.

Первые результаты практического применения алгоритмов нечёткой логики к управлению реальными техническими объектами были опубли­кованы в 1974 г. в работах профессора Лондонского Королевского колле­джа Э.Х. Мамдани [1, 8], посвящённых проблеме регулирования парогене­ратора для электростанции. В этих работах была предложена ставшая се­годня классической структурная схема системы нечёткого управления

Под нечётким управлением (Fuzzy Control) в данном случае пони­мается стратегия управления, основанная на эмпирически приобретённых знаниях относительно функционирования объекта (процесса), представ­ленных в лингвистической форме в виде некоторой совокупности правил.

б) в)

Рис. 2.3. Структурная схема системы нечёткого управления

На рис. 2.3 ДФ - динамический фильтр, выделяющий, помимо сиг­налов ошибок управления у = г₁ -у₁ и у = г₂ -у₂, производные от этих сиг­налов х₂ = у и у = у; НЛР - регулятор на основе нечёткой логики («нечёт­кий регулятор»), включающий в себя базу знаний (конкретнее - базу пра­вил) и механизм логического вывода;

г = [г г₂ ]^Т , х = [у у у у ]^Т, и = [у и₂ У и у = [у у₂ У — соответственно векторы задающих воздействий (уставок), входов и выходов НЛР, а также выходов объекта управления (т.е. парогенератора);

Т - операция транспонирования вектора.

В качестве входов и выходов НЛР выступают: у = Р_Е - отклонение давления в паровом котле (у) по отношению к его тре­буемому (номинальному) значению (у); ^х₂ = С_РЕ - скорость изменения Р_Е;

x₃ = S_E - отклонение скорости изменения давления (у₂) по отношению к его

заданному значению (r₂);

x₄ = C_SE - скорость изменения Se;

u₁ = H_C - изменение степени подогрева пара;

и₂ = T_C - изменение положения дросселя.

Мамдани [8] предложил рассматривать эти величины как лингвисти­ческие переменные, каждая из которых может принимать одно из следую­щих значений из множества

L = {NB, NM, NS, NO, PO, PS, PM, PB}

Здесь 1-я буква в обозначении указывает знак числовой переменной и соответствует английскому слову Negative («отрицательное») или Positive («положительное»), 2-я буква говорит об абсолютном значении перемен­ной: Big («большое»), Middle («среднее»), Small («малое») или О («близкое к нулю»). Например, символ NS означает «отрицательное малое».

В процессе работы ИСУ в каждый момент времени используется один из двух нечётких алгоритмов: по первому из них осуществляется ре­гулирование давления в котле путём изменения подогрева пара Н_С, по вто­рому поддерживается требуемая скорость изменения давления с помощью изменения положения регулирующего дросселя Т_С. Каждый из алгоритмов состоит из ряда правил - высказываний, записанных на естественном язы­ке, типа:

«Если отклонение давления в котле большое, отрицательного знака и если это отклонение не убывает с большой или средней по величине скоро­стью, то степень подогрева пара необходимо сильно увеличить».

Или: «Если скорость изменения давления чуть ниже нормы и в то же время эта скорость резко растёт, то следует изменить положение дросселя на положительную, достаточно малую, величину».

Используя введённые выше обозначения, можно переписать эти правила в следующем виде:

«ЕСЛИ (P_e=NB И C_pe=HE(NB ИЛИ NM), ТО Н_С=РВ»;

«ЕСЛИ (Se=NO И Cse=PB), TO Tc=PS».

Реализация предложенных алгоритмов нечёткого управления при этом принципиально отличается от классических («жёстких») алгоритмов построенных на основе концепции обратной связи (Feed-back Control) и, по существу, просто воспроизводящих некоторую заданную функциональ­ную зависимость или дифференциальное уравнение. Нечёткий регулятор берет на себя те функции, которые обычно выполняются опытным и уме­лым обслуживающим персоналом. Эти функции связаны с качественной оценкой поведения системы, анализом текущей меняющейся ситуации и выбором наиболее подходящего для данной ситуации способа управления объектом. Данная концепция управления получила название опережающе­го (или упреждающего) управления (Feed-Forward Control).

Блок-схема нечёткого регулятора в общем случае принимает вид, изображённый на рис. 2.4.

Как видно из данной схемы, формирование управляющих воз­действий uj,u2,...,u_m включает в себя следующие этапы:

а) получение отклонений управляемых координат и скоростей их изменения - х],х₂,...,х„;

б) «фаззификация» этих данных, т.е. преобразование полученных значений к нечёткому виду, в форме лингвистических переменных;

в) определение нечётких (качественных) значений выходных пере­менных: u_],u₂,...,u_m (в виде функций их принадлежности соответствующим нечётким подмножествам) на основе заранее сформулированных правил логического вывода записанных в базе правил;

г) «дефаззификация», т.е. вычисление реальных числовых значений выходов u_],u₂,...,u_m, используемых для управления объектом.

значения Лингвистические значения

отклонений переменные выходов

Рисунок 2.4. Блок-схема нечёткого регулятора

Помимо представленного на рис. 2.3 варианта «чистого» использо­вания нечёткого управления, существуют и другие варианты построения ИСУ с нечёткими регуляторами [12]. Так, в классической теории регули­рования широкое распространение получило использование ПИД- регулятора, выходной сигнал которого вычисляется по формуле

и( ) = К _п е( )+К И } е( ) + К Д ^ ,

о Ж

где параметры К_п, К_И и Кд характеризуют удельный вес соответственно пропорциональной, интегральной и дифференциальной составляющей и, должны выбираться исходя из заданных показателей качества регулиро­вания (время регулирования, перерегулирование, затухание переходных процессов). Возможное использование нечёткого регулятора (НР) для ав­томатической настройки (адаптации) указанных параметров ПИД- регулятора показано на рис. 2.5, а. Другие варианты применения НР фор­мирование уставок обычных регуляторов (рис. 2.5, б); подключение парал­лельно ПИД-регулятору (рис. 2.5, в), управление предварительной оценкой характеристик сигналов (ОХС), получаемых с датчиков, на основе интер­претации их значимости, выделение обобщённых показателей качества и

т.п. с последующей обработкой с помощью алгоритмов на основе нечёткой логики (рис. 2.5, г).

В качестве предпосылок к применению нечётких регуляторов обычно называются:

• большое число входных параметров, подлежащих анализу (оцен­ке);

• большое число управляющих воздействий (многомерность);

• сильные возмущения;

• нелинейности;

• неточности математических моделей программы регулирования;

• Кп

  НЛР

  Ки

  К*

  ПИД

  u

  объект

  У

  У

  б)

  

  а)

  

  

  ^г)

  возможность использования технических знаний «know-how».

Рис. 2.5. Структуры ИСУ с нечёткими регуляторами

Подводя итог сказанному, отметим ещё раз те области применения [12], в которых использование нечётких регуляторов оказывается более эффективным по сравнению с традиционными алгоритмами управления. Это:

1) приложения, которые пока были не связаны с автоматизацией,

требующие применения «know-how», например, пивоварение (где можно воспользоваться знаниями экспертов с целью повышения качества продук­ции), подъёмные краны (для повышения производительности работ) и т. п.;

2. приложения, в которых математические методы не работоспособ­ны. Это очень сложные процессы, не поддающиеся математическому опи­санию, для управления которыми можно использовать, наряду с эмпириче­скими знаниями, также полученную измерительную информацию (напри­мер, о ходе химических процессов);

3. приложения, в которых стандартные регуляторы достаточно хо­рошо работают; однако управление на основе нечёткой логики предлагает в данном случае альтернативный способ решения задач регулирования, возможность работы с лингвистическими переменными, более широкие возможности для оптимизации.

2. Нечёткие логические выводы

Используемый в различного рода экспертных и управляющих систе­мах механизм нечётких выводов в своей основе имеет базу знаний, форми­руемую специалистами предметной области в виде совокупности нечётких предикатных правил вида:

П}1 если х есть Aj, тогда у есть Б_1}

П₂: если х есть А₂, тогда у есть В₂,

П_п: если х есть А_п, тогда у есть В_п,

где х — входная переменная (имя для известных значений данных), у — переменная вывода (имя для значения данных, которое будет вычислено); А и В — функции принадлежности, определённые соответственно на х и у.

Приведём более детальное пояснение. Знание эксперта А ® в отража­ет нечёткое причинное отношение предпосылки и заключения, поэтому его можно назвать нечётким отношением и обозначить через Я:

где « ® » называют нечёткой импликацией.

Отношение R можно рассматривать как нечёткое подмножество пря­мого произведения X х Y полного множества предпосылок X и заключе­ний Y. Таким образом, процесс получения (нечёткого) результата вывода В' с использованием данного наблюдения А' и знания A ® B можно предста­вить в виде формулы

B' = A o R = A o (A ® B),

где «о» — введённая выше операция свёртки.

Как операцию композиции, так и операцию импликации в алгебре нечётких множеств можно реализовывать по-разному (при этом, есте­ственно, будет разниться и итоговый получаемый результат), но в любом случае общий логический вывод осуществляется за следующие четыре этапа.

1. Нечёткость (введение нечёткости, фаззификация, fuzzification). Функции принадлежности, определённые на входных переменных при­меняются к их фактическим значениям для определения степени истин­ности каждой предпосылки каждого правила.

2. Логический вывод. Вычисленное значение истинности для предпосылок каждого правила применяется к заключениям каждого пра­вила. Это приводит к одному нечёткому подмножеству, которое будет назначено каждой переменной вывода для каждого правила. В качестве правил логического вывода обычно используются только операции min (МИНИМУМ) или prod (УМНОЖЕНИЕ). В логическом выводе МИНИ­МУМА функция принадлежности вывода «отсекается» по высоте, соот­ветствующей вычисленной степени истинности предпосылки правила (нечёткая логика «И»). В логическом выводе УМНОЖЕНИЯ функция принадлежности вывода масштабируется при помощи вычисленной сте-

пени истинности предпосылки правила.

Композиция. Все нечёткие подмножества, назначенные к каждой переменной вывода (во всех правилах), объединяются вместе, чтобы фор­мировать одно нечёткое подмножество для каждой переменной вывода. При подобном объединении обычно используются операции max (МАК­СИМУМ) или sum (СУММА). При композиции МАКСИМУМА комбини­рованный вывод нечёткого подмножества конструируется как поточеч­ный максимум по всем нечётким подмножествам (нечёткая логика «ИЛИ»). При композиции СУММЫ комбинированный вывод нечёткого подмножества конструируется как поточечная сумма по всем нечётким подмножествам, назначенным переменной вывода правилами логического вывода.

4. В заключение (дополнительно) — приведение к чёткости (де- фаззификация, defuzzification), которое используется, когда полезно преоб­разовать нечёткий набор выводов в чёткое число. Имеется большое коли­чество методов приведения к чёткости, некоторые из которых рассмотре­ны ниже.

Пример. Пусть некоторая система описывается следующими не­чёткими правилами:

Пу если х есть А, тогда w есть D,

П₂: если у есть В, тогда w есть Е,

П₃: если z есть С, тогда w есть F,

где х, у и z — имена входных переменных, w — имя переменной вывода, а А, В, С, D, E, F — заданные функции принадлежности (треугольной фор­мы).

Процедура получения логического вывода иллюстрируется на рис. 2.6.

Предполагается, что входные переменные приняли некоторые кон­кретные (чёткие) значения — х₀, у₀ и г₀.

В соответствии с приведёнными этапами, на этапе 1 для данных значений и исходя из функций принадлежности А, В, С, находятся степе­ни истинности а (х₀), а (у₀) и а (г₀) для предпосылок каждого из трёх при­ведённых правил (см. рис. 2.6).

На этапе 2 происходит «отсекание» функций принадлежности за­ключений правил (т.е. Д Е, К) на уровнях а(х₀), а(у₀) и а(г₀).

На этапе 3 рассматриваются усечённые на втором этапе функции принадлежности и производится их объединение с использованием опера­ции тах, в результате чего получается комбинированное нечёткое под­множество, описываемое функцией принадлежности тіМ и соответству­ющее логическому выводу для выходной переменной w.

Наконец, на 4-м этапе — при необходимости — находится чёткое значение выходной переменной, например, с применением центроидного метода: чёткое значение выходной переменной определяется как центр тя­жести для кривой тА™), т• е .

0

а

Рассмотрим следующие наиболее часто используемые модификации алгоритма нечёткого вывода, полагая, для простоты, что базу знаний ор­ганизуют два нечётких правила вида:

П₁: если х есть А₁ и у есть В₁, тогда г есть С_1у П₂: если х есть А₂ и у есть В₂, тогда г есть С₂, где х и у — имена входных переменных, г — имя переменной вывода, А₁, А₂, Б₁, В₂, С₁, С₂ — некоторые заданные функции принадлежности, при этом чёткое значение 2₀ необходимо определить на основе приведённой информации и чётких значений х₀ и у₀.

Алгоритм Мамдани (Mamdani). Данный алгоритм соответствует рассмотренному примеру и рис. 2.7. В рассматриваемой ситуации он ма­тематически может быть описан следующим образом.

1. Нечёткость: находятся степени истинности для предпосылок каждого правила: Aj(x_Q), Ä2(xo), Bi(yo), В2(уо)

2. Нечёткий вывод: находятся уровни «отсечения» для предпосылок каждого из правил (с использованием операции МИНИМУМ)

^ai = ^А1 (^Х0 )^{Л B}i(Уо) ^a2 ^{_ А}2 ^(x0 ^{)л B}2 ^(y0 ⁾

где через « л » обозначена операция логического минимума (min), затем находятся «усечённые» функции принадлежности

^С1^(г) = («! л С_х (г))

^С2^{(г) = (}а2 ^лС2^(г))

3. Композиция: с использование операции МАКСИМУМ (тах, да­лее обозначаемой как « V ») производится объединение найденных усечён­ных функций, что приводит к получению итогового нечёткого подмноже­ства для переменной выхода с функцией принадлежности

тА² )=^{С (г} )=^С1^{(г )v С} 2^(г)=^(а1^{л С}1 ^(г)М^а2^{л С} 2^(г))

4. Наконец, приведение к чёткости (для нахождения 20) проводится, например, центроидным методом.

Рис. 2.7. Графическое представление алгоритма Мамдани

Алгоритм Тсукамото (Тэикато^). Исходные посылки — как у предыдущего алгоритма, но в данном случае предполагается, что функции Сфг), С₂(2) являются монотонными.

1. Первый этап — такой же, как в алгоритме Mamdani.

2. На втором этапе сначала находятся (как в алгоритме Машёаш) уровни «отсечения» а₁ и а₂, а затем — посредством решения уравнений

^а1 = ^С1 (^1) 5 ^а2 = ^С2 (^2 )

— чёткие значения (2₁ и 2₂) для каждого из исходных правил.

3. Определяется чёткое значение переменной вывода (как взвешен­ное среднее 2₁ и 2₂):

_ _ ^а1²1 + ^а2² 2 ²0 ^_

а₁ + а₂

в общем случае (дискретный вариант центроидного метода)

п

/_1

Пример. Пусть имеем А₁(х₀)=0,7, А₂(х₀)=0,6, В₁(у₀)=0,3,

В₂(у₀)=0,8, соответствующие уровни отсечения

а₁ _ min(A₁ (х₀), В₁ (у₀)) _ min(0.7;0.3) _ 0.3 а₂ _ min(A₂ (х₀), В₂ (у₀)) _ min(0.6;0.8) _ 0.6

Рис. 2.8. Графическое представление алгоритма Тсукамото

и значения 2=8 и 2₂=4, найденные в результате решения уравнений

^С1 (^г1 )= ^{03, С}2 (^г2 )= ⁰⁶-

2.8)

При этом чёткое значение переменной вывода (см. рис.

z

о

8 • 0.3 + 4 • 0.6 „

= 6

0. 3 + 0.6

Алгоритм Сугено (8^епо). Б^еио и Takagi использовали набор правил в следующей форме (как и раньше, приводим пример двух правил): Пі: если х есть А_і и у есть Б_і, тогда ї_і = а_іх + Ь_іу,

П₂: если х есть А₂ и у есть В₂, тогда г₂ = а₂х + Ь₂у.

Описание алгоритма

0. Первый этап — как в алгоритме Машёаш.

1. На втором этапе находятся а₁ = А₁(х₀ )л Б₁ (х₀), а₂ = А₂ (х₀ )л Б₂ (х₀) и индивидуальные выходы правил:

I* = ^а1 ^Х0 + ^Ь1У 0 ¹2 = ^а2 ^Х0 + ^Ь2 ^у0

0. На третьем этапе определяется чёткое значение переменной вы­

вода:

о

2

a j z₁ + a ₂ z

^Z о =

a j + a ₂

Алгоритм иллюстрирует рис. 2.9.

Алгоритм Ларсен (Larsen). В алгоритме Larsen нечёткая импли­кация моделируется с использованием оператора умножения.

Описание алгоритма

1. Первый этап — как в алгоритме Mamdani.

Рис. 2.9. Графическое представление алгоритма Сугено

2. На втором этапе, как в алгоритме Mamdani вначале находятся значения

^a1 = ^A1 ^(x0 )^{Л B}1 (^У0 ) ^a2 = ^A2 ^(x0 ^{)л B}2 ^(y0 ⁾

а затем — частные нечёткие подмножества

CX₁C₁ ⁽Z⁾, ^a2^C2 ^(z).

3. Находится итоговое нечёткое подмножество с функцией принад­лежности

^mS ^(z) = ^С(z) = ^(a 1^C1 ^{(z))v (a}2^C2 ^(z))

n

(в общем случае п правил m_S(z) = С(z)= ч(а_гС_г(z)).

i=1

4. При необходимости производится приведение к чёткости (как в ранее рассмотренных алгоритмах).

Алгоритм Larsen иллюстрируется на рис. 2.10.

Упрощённый алгоритм нечёткого вывода. Исходные правила в данном случае задаются в виде:

П₁: если х есть Л₁ и у есть В₁, тогда 2₁ = с₁,

П₂: если х есть А₂ и у есть В₂, тогда 2₂ = с₂, где с₁ и с₂ — некоторые обычные (чёткие) числа.

Описание алгоритма

Первый этап — как в алгоритме Машёапг

На втором этапе находятся числа

^а1 = ^Лі (*0 )^{л В}1 ^(уо) ^а2 = ^Л2 ^(х0 ^{)л В}2 ⁽Уо ⁾

На третьем этапе находится чёткое значение выходной перемен­ной по формуле

^0 =

а₁с₁ + а ₂с₂ а₁ + а ₂

по формуле

Рис. 2.10. Графическое представление алгоритма Ларсен

или — в общем случае наличия п правил —

Ъ^ас,

^ = —_п

і=1

Рис. 2.11. Графическое представление алгоритма упрощённого алгоритма

Иллюстрация алгоритма приведена на рис. 2.11.

2. Методы агрегации

1. Выше уже был рассмотрен один из данных методов — центро- идный. Приведём соответствующие формулы ещё раз. Для непрерывного варианта:

I zC (z )dz

^Z0

_ Q

IC (z )dz ’

Q

L^az

z_

i=1

⁰ n

L

i=1

а

для дискретного варианта:

3. 

   а б

   Рис. 2.12. Иллюстрация к методам приведения к чёткости (а - первый максимум; б - средний максимум)

   Средний максимум (М)ёё1е-оНМахта). Чёткое значение нахо­дится по формуле (см. рис. 2.12, б)

|

₂ = О

⁰ } *

О

где О — подмножество элементов, максимизирующих С. Дискретный вариант (если С — дискретно):

1 ^N

*^{0 =} *

4. Критерий максимума (Max-Criterion). Чёткое значение выбира­ется произвольно среди множества элементов, доставляющих максимум С, т. е.

^zo е^{|С(z⁾ = max С (и)}

5. Высотная дефаззификация (Height defuzzification). Элементы области определения Q, для которых значения функции принадлежности меньше, чем некоторый уровень а в расчёт не принимаются, и чёткое значение рассчитывается по формуле

| zC(z z)dz

С

z a

⁰ I C(z z)dz

где С _а — нечёткое множество а-уровня.

2. Нисходящие нечёткие выводы

Рассмотренные до сих пор нечёткие выводы представляют собой восходящие выводы от предпосылок к заключению. В последние годы в диагностических нечётких системах начинают применяться нисходящие выводы. Рассмотрим механизм подобного вывода на примере.

Возьмём упрощённую модель диагностики неисправности автомо­биля с именами переменных:

XI — неисправность аккумулятора; х₂ — отработка машинного масла; у₁ — затруднения при запуске; у₂ — ухудшение цвета выхлопных газов; у₃ — недостаток мощности.

Между и уу существуют нечёткие причинные отношения г_у = х_{ ® у у, которые можно представить в виде некоторой матрицы Я с эле­ментами Гу е [0,1]. Конкретные входы (предпосылки) и выходы (заключе­ния) можно рассматривать как нечёткие множества А и В на простран­ствах X и У. Отношения этих множеств можно обозначить как

В = А о Я

где, как и раньше, знак «о» обозначает правило композиции нечётких вы­водов.

В данном случае направление выводов является обратным к направлению выводов для правил, т. е. в случае диагностики имеется (за­дана) матрица Я (знания эксперта), наблюдаются выходы В (или симп­томы) и определяются входы А (или факторы).

Пусть знания эксперта-автомеханика имеют вид

0. 9 0.1 0.2

0. 6 0.5 0.5 ’

а в результате осмотра автомобиля его состояние можно оценить как

_В = 0.9/ + 0.1/ + 0.2/

/У /У2 /Уз ‘

Требуется определить причину такого состояния:

А = ^а/ +

/ х₁

Отношение введённых нечётких множеств можно представить в

[0.9 0.1 0.2]= а

^а2^]о

0.9 0.1 0.6 0.5

0.2

0.5

виде

либо, транспонируя, в виде нечётких векторов-столбцов:

“0.9“		“0.9	0.6“
0.1	=	0.1	0.5	о	а1
0.2		0.2	0.5		а2 _

При использовании (тах-тт)-композиции последнее соотноше­ние преобразуется к виду

0. 9 = (0.9 л а / (0.6 л а₂)

0. 1 = (0.1 л а₁ )v(0.5 л а₂)

0. 2 = (0.2 л а₁ / (0.5 л а₂)

При решении данной системы заметим прежде всего, что в первом уравнении второй член правой части не влияет на правую часть, поэтому

0. 9 = 0.9 л а₁, а₁ > 0.9.

Из второго уравнения получим:

0. 1 > 0.5ла₂, а₂ < 0.1.

Полученное решение удовлетворяет третьему уравнению, таким образом имеем:

0. 9 < а₁ < 1, 0 < а₂ < 0.1,

т.е. лучше заменить аккумулятор (а\ - параметр неисправности аккумуля­тора, а₂ - параметр отработки масла)

На практике в задачах, подобных рассмотренной, количество пере­менных может быть существенным, могут одновременно использоваться различные компоненты нечётких выводов, сама схема выводов может быть многокаскадной. Общих методов решения подобных задач на данном этапе не существует.