5.1.4. Примеры решения задачи основополагающими методами
Метод эквивалентного генератора (МЭГ) с пояснениями
Задача 5.1.4.1
В схеме,
представленной на рис.
,
определить, следуя методу эквивалентного
генератора
,
величину тока в ветви с резистором
,
если элементы цепи имеют следующие
значения:
.
Рис. 21. Схема сложной исходной линейной электрической цепи, подлежащая анализу
Решение
Прежде
всего, задаемся условными положительными
направлениями токов в ветвях, т. е,
.
Кроме
этого указываем
также положительные направления
циркуляции контурных токов
,
и
для тока источника тока
.
Контурные
токи в методе эквивалентного генератора
(МЭГ) могут быть в ряде случаев, чрезвычайно
полезны для определения
величины напряжения холостого хода.
С целью показать сильные и слабые стороны метода МЭГ, решение данной задачи, будет осуществлено так же и методом контурных токов (МКТ) .
Рассмотрим, первое решение поставленной задачи для этого воспользуемся (МЭГ).
п.1. По условию задачи, необходимо, определить величину тока, протекающего через резистивный элемент .
Для
этого размыкаем эту ветвь, после этого
всю оставшуюся часть исходной линейной
цепи, будем рассматривать в качестве
активного двухполюсника, входными
зажимами которого выступают теперь не
узлы
,
а точки
.
Тогда топология получившейся цепи
отобразится в виде следующего рис.22.
Рис. 22 Схема, полученная из исходной цепи, после выполнения преобразования, и подлежащая анализу, по методу эквивалентного генератора (МЭГ)
Из ранее
изложенного теоретического материала,
следует, что для того чтобы полностью
охарактеризовать активный двухполюсник,
необходимо, знать его следующие параметры:
1)
входное
сопротивление этого двухполюсника и
2)
напряжение
холостого хода, определяемые относительно
зажимом
.
На выше
приведенном рисунке
было специально сохранено прежнее
направление тока
.
Схема, позволяющая определить величину входного сопротивления, приведена на рис.23.
Рис.23. Схема, позволяющая определить величину входного сопротивления активного двухполюсника
Используя схему, приведенную на рис. 23, последовательно находим:
(1.91)
(1.92)
После подстановки числовых значений в соотношение (1.92), определяем:
.
Схема,
позволяющая определить величину
относительно
входных зажимов активного двухполюсника
,
приведена ниже на рис. 24.
Рис.24 Схема, позволяющая определить величину напряжения
Анализ
топологии цепи, приведенной выше,
позволяет заключить, что эту цепь можно
рассчитать, либо по методу узловых
потенциалов (МУП), либо по методу контурных
токов (МКТ), следствием такого расчета
и будет определение величины
.
Первоначально выполним расчет этой цепи по (МУП). Этот метод, как буде показано далее, более предпочтителен, так как он менее трудоемкий, в сравнении (МКТ). Важным фактором, выступающим в пользу этого метода, является наличие ветви, содержащей идеальный источник электродвижущей силы ЭДС.
Отметим, между прочим, что основополагающими методами для расчета линейных электрических цепей, являются либо (МУП), либо (МКТ). Алгоритм выбора предпочтения одного из них, в отношении другого, скрыт в самой топологии изначально заданной цепи: если, например, число независимых контуров в исходной цепи, меньше числа ее узлов без одного, то (МКТ) имеет предпочтение перед (МУП), в противном случае, наоборот.
Приняв,
потенциал узла
,
равным нулю, сразу найдем
потенциал
квази узла
.
Действительно, как нетрудно видеть, из
приведенного выше рисунка 24, имеют
место следующие соотношения:
.
Итак,
остается определить лишь потенциал
квази узла
,
после чего тривиально находится величина
.
Следуя
(МУП), составим следующую систему
уравнений
.
В состав
левой части уравнения
системы
входит известное алгебраическое
слагаемое
и это слагаемое, необходимо перенести
в правую часть с противоположным знаком,
тогда первоначальная система
,
преобразуется в равносильную ей систему,
имеющую следующий вид:
.
Следуя методу швейцарского математика Габриеля Крамера , решим систему .
Прежде
всего, запишем аналитическое выражение
для
главного
определителя системы
:
.
В соотношение (1.94) элементы определителя – суть проводимости ветвей, берущиеся с надлежащими знаками, как коэффициенты при неизвестных. Неизвестными, как нетрудно видеть, в системе выступают: как потенциал истинного узла , так и потенциалы квази узлов .
Выполнив процедуру раскрытия главного определителя второго порядка и осуществив подстановку числовых значений, найдем его числовое значение:
(1.95).
Итак, главный определитель системы отличен от нуля, поэтому данная система – совместна, т.е., имеет единственное решение, это утверждение непосредственно следует из элементов теории линейной алгебры .
Найдем
теперь
первый
вспомогательный определитель, получающийся
из
главного
определителя системы
,
с помощью замены элементов его первого
столбца – столбцом свободных членов.
(1.96).
Выполнив
процедуру раскрытия
первого
вспомогательного определителя второго
порядка и осуществив подстановку
числовых значений, найдем его числовое
значение:
.
Применяя формулу Г. Крамера, найдем:
Выполним проверку размерностей в соотношении (1.98):
,
размерность
соблюдается.
На следующем шаге находим величину холостого хода , очевидно, что теперь это не составит большого труда:
(1.99)
Сопоставляя между собой рисунки (21и 22) и используя закон Ома, записанный в обобщенной форме, получаем аналитическое выражение для тока в первой ветви:
(1.100)
После подстановки числовых значений величин в соотношение (1.99), найдем величину тока
(1.101).
Итак, задача, изначально поставленная перед нами, решена: величина тока в первой ветви найдена по методу эквивалентного генератора.
Думающий читатель (слушатель), несомненно, поставит перед собой вопрос: как удостоверится в том, что найденное выше значение тока правильное
Вопрос этот, надо сказать, по своей физической постановке правильный: в сложной линейной электрической цепи определили лишь один ток из пяти в ней реально имеющихся в качестве неизвестных. Поэтому, для того чтобы положительно ответить на поставленный вопрос о верности значения тока , необходимо и достаточно, следуя (МЭГ) определить еще четыре неизвестных тока, а затем выполнить проверку по первому и второму закону Кирхгофа и осуществить расчет баланса мощностей.
Отсюда
следует вывод:
по имеющемуся значению одного тока,
который протекает в
- той ветви сложной линейной электрической
цепи, невозможно однозначно утверждать,
что найденное значение верное.
Покажем
теперь, как можно полностью рассчитать
ту же линейную электрическую цепь,
представленную на рисунке
,
но следуя при этом методу контурных
токов (МКТ)
.
Прежде всего, выпишем параметры исходной линейной электрической цепи, под которыми, в частности, в теоретических основах электротехники (ТОЭ), и просто электротехнике, понимают:
общее число узлов, обозначаемое через символ
;общее число ветвей, обозначаемое через символ
;общее число ветвей, содержащих источники тока и обозначаемое через символ
.
Тогда,
число уравнений, которое требуется
составить для выполнения расчета
рассматриваемой цепи по (МКТ), определяется
по следующему соотношению:
(1.102).
Выпишем
значения параметров цепи, схема которой
приведена на рис.21:
.
Подставив
найденные значения указанных параметров
в соотношение (1.102), найдем значение
:
(1.103).
Итак, значение параметра равно двум, оно указывает на то обстоятельство, что существуют два независимых контура в анализируемой цепи.
Приведем определение независимости контуров.
Два контура, называются независимыми, тогда и только тогда, когда топология одного из них, отличается от топологии другого, хотя бы одной ветвью.
Обозначим
эти два независимых контура через
условно выбранное положительное
направление их обхода, которое удобно
задать через последовательность узлов,
входящих в данный контур. Тогда первый
контур для рассматриваемой цепи можно
условно указать в виде следующей
последовательности его узлов:
.
Эта последовательно
однозначно определяет положительное
направление обхода первого контура,
которое на рис.(21), обозначено в виде
прерывистой стрелки, обтекающей контур
против движения стрелки часов. Совершенно
аналогично указывается маршрут обхода
второго независимого контура в виде
последовательности его узлов
.
Из
рассмотрения топологии исходной цепи
у читателя (слушателя), вероятно, возникает
вопрос: как следует понимать контур,
занумерованный через следующую
последовательность его узлов
Дело в том, контуры, содержащие источники
тока, безразлично какие – идеальные,
либо реальные совсем необычные: в таких
контурах не выполняется второй закон
Кирхгофа. Такие контуры получили названия
квази контуров. Поэтому всегда, произвольно
задаваясь положительным направлением
обхода контура, содержащего в одной из
ветвей хотя бы один источник ЭДС, смотрят
за тем, чтобы ветвь с источником тока в
такой контур не включалась. Обусловлено
это бесконечно большой величиной
внутреннего сопротивления
идеального источника тока.
Система уравнений, составленная по (МКТ) , будет иметь следующий вид:
Осуществив
тривиальное тождественное преобразование
в системе
,
получим ей равносильную систему
,
имеющую вид:
Решение последней системы осуществим по методу Г. Крамера .
Неизвестными
в данной системе являются контурные
токи
,
,
которые
необходимо найти. Зная контурные токи,
можно найти токи в ветвях: через
алгебраическую сумму первых и учитывая
при этом определенным образом ток,
созданный источником тока.
Прежде всего, составим из коэффициентов при неизвестных, выражение для главного определителя этой системы :
(1.104).
Выполнив
процедуру раскрытия
главного определителя второго порядка
и осуществив подстановку числовых
значений, найдем его числовое значение:
(1.105).
Размерность главного определителя системы , как нетрудно видеть, будет:
.
Итак, значение главного определителя системы отлично от нуля, поэтому в силу сказанного выше, утверждаем, что эта система совместна .
Следуя, вышеуказанному алгоритму, последовательно находим: первый и второй вспомогательный определители, а затем по формуле Крамера – контурные токи.
Cоставляем
первый
вспомогательный определитель
:
(1.106).
Выполнив процедуру раскрытия этого определителя и подставив числовые значения для элементов, входящих в этот определитель, найдем его значение:
(1.107).
Тогда,
воспользовавшись формулой Крамера,
найдем
первый контурный ток:
(1.108).
Из схемы
анализируемой линейной электрической
цепи видно, что
ток
в первой ветви равен первому контурному
току
:
каждый
из этих токов имеет одно направление в
первой ветви от узла
к узлу
,
а их числовые значения равны с точностью
до знака.
Cоставляем
второй вспомогательный определитель:
(1.109).
Осуществив процедуру раскрытия этого определителя и подставив числовые значения для элементов, входящих в этот определитель, найдем его значение:
(1.110).
Затем,
воспользовавшись формулой Г. Крамера,
находим
второй контурный ток
:
(1.111).
После
того, как нашли значения контурных
токов
,
,
выполняем
проверку системы
:
для этого последовательно подставляем
значения
этих токов в уравнения
и
.
Тогда,
в частности для левой части уравнения
,
получим
.
Аналогично,
осуществим проверку уравнения
:
.
Итак, обе проверки выполняются, следовательно, контурные токи определены правильно.
После
этого, переходим к определению токов
в ветвях анализируемой цепи, т.е., найдем:
ток в первой ветви;
ток во второй ветви;
ток в третьей ветви;
ток в четвертой ветви;
ток в
ветви, содержащей идеальный источник
ЭДС.
Из рассмотрения (рис. 21) непосредственно находим:
.
Располагая найденными значениями токов в ветвях осуществим их проверку по законам Кирхгофа .
Проверка, выполняемая согласно первому закону Кирхгофа; запишем необходимые для этого следующие соотношения и подставим в них числовые значения токов в ветвях:
для
узла
проверка выполнена;
для
узла
проверка выполнена;
для узла
проверка выполнена;
для узла
проверка выполнена.
Используя второй закон Кирхгофа, запишем соответствующие уравнения, по которым будем выполнять вторую проверку.
Для первого контура, заданного через последовательность входящих в него узлов , имеем:
(1.112).
После выполнения тривиального преобразования в соотношение (1.112) и подстановки числовых значений, находим:
,
что проверка для первого контура выполняется.
Для второго контура, заданного через последовательность входящих в него узлов , имеем:
(1.113).
После выполнения тривиального преобразования в соотношение (1.113) и подстановки числовых значений, находим:
,
что проверка для второго контура также выполняется.
Переходим к расчету баланса мощностей.
Прежде всего, выполним расчет мощности, которую поставляют источники в цепь, для этого воспользуемся следующим соотношением :
(1.114).
Где,
алгебраическая
сумма мощностей источников ЭДС, имеющихся
в данной цепи, а
мощность,
развиваемая источником тока.
Последовательно, будем определять эти мощности:
(1.115),
Причем
напряжение между зажимами
источника тока
,
оно же между узлами
,
выбрано нами соответствующим
положительному направления обхода
квази контура, и величина этого напряжения,
как нетрудно видеть, определяется
следующим образом:
.
Подставляя
в соотношение (1.116
)
значение напряжения
,
найдем
величину мощности источника тока.
Итак, находим:
.
Используя
соотношения (1.114),
(1.115),
(1.116
),
находим величину мощности источников:
(1.117).
Общая мощность потребителей (приемников) электрической энергии находится согласно закону Джоуля – Ленца, т.е.,
(1.118).
Заметим,
между прочим, что в соотношении (1.118)
знак
алгебраической
суммы применялся, как знак арифметической
суммы, так как, под знаком суммы были
записаны лишь положительные слагаемые,
каждое из которых представляло собой,
произведение не отрицательных
сомножителей.
Сопоставляя между собой найденные числовые значения соотношений (1.117), (1.118), убеждаемся в их равенстве, следовательно, баланс мощностей для данной цепи рассчитан правильно и ранее найденное значение тока в первой ветви верное.
Ниже нами будет приведен еще один метод расчета исходной линейной электрической цепи, который во – первых, использует метод преобразования идеального источника тока в эквивалентный ему источник ЭДС, а во – вторых, здесь будет применен один вспомогательный метод – метод “расщепления” источника тока. Отметим, что метод “расщепления” источника тока нашел широкое применение в технически и научно значимой дисциплине “Электроника“, где он используется при выполнении расчетов электронных схем. Поэтому ознакомиться с этим методом и показать его в действии чрезвычайно желательно.
Учитывая, что метод “расщепления” источника тока (МРИТ) для читателя (слушателя) совершенно не известный, поэтому в полной мере оправдано, то обстоятельство, что именно ему в дальнейшем изложении будет уделено первостепенное внимание.
В качестве
основополагающего базиса для (МРИТ)
выступает первый закон Кирхгофа
.
Сущность этого метода очень проста;
если зажимы
идеального источника тока подключены
к двум узлам, например
,
как это имеет место быть в ранее
рассмотренной нами цепи, то это подключение
источника, можно заменить последовательностью
из двух его подключений: первоначально
источник, подключается с соблюдением
прежней полярности зажимов, к узлам
,
а затем – к узлам
.
Тогда,
количество электричества, поставляемое
в единицу времени этим источником тока
в узел
,
равно этому же количеству электричества,
отбираемому источником от данного узла.
Другими словами, закон сохранения
электрического заряда, экспериментально
открытый в 1842 г гениальным английским
физиком М. Фарадеем, для замкнутой
электрической цепи, соблюдается.
После всего, что было изложено относительно (МРИТ), наступил момент показать, на примере анализа линейной электрической цепи, изображенной на рис.21, как этот метод используется.
В результате применения (МРИТ), топология исходной рассматриваемой линейной цепи, претерпев изменение, модифицируется в следующую топологию, представленную на рис.25.
Рис. 25 Схема сложной исходной линейной электрической цепи, полученная в результате применения (МРИТ)
Теперь,
в линейной электрической цепи, схема,
которой представлена рис.25, осуществим
эквивалентное преобразование источника
тока
в соответствующие источники ЭДС. Для
этого воспользуемся соотношением
(1.66), полученным раньше. Тогда, в квази
контуре, занумерованном через
последовательность его узлов
и обтекаемого источником тока
против движения стрелки часов, выполняется
эквивалентное замещение источника тока
на источник ЭДС, по следующему соотношению:
(119).
После
подстановки числовых значений величин
в соотношение (1.119),
найдем
величину
источника ЭДС
.
Полярность
эквивалентного
источника ЭДС соответствует полярности
источника тока
.
Источник
включается
последовательно с резистором
четвертой
ветви.
Принимая
во внимание, что резистивные элементы
цепи имеют одну и ту же величину и,
используя соотношение (1.119), находим
величину
эквивалентного источника ЭДС, который
необходимо включить последовательно
с резистором
.
Тогда получаемая схема электрической цепи, будет иметь вид, представленный на рис.26.
Рис.26 Схема сложной исходной линейной электрической цепи, полученная в результате преобразования источника тока в эквивалентные источники ЭДС
Обратите внимание на то, что схема линейной электрической цепи, представленная на рис.26, не содержит больше квази контура, но по ветвям три и четыре, элементы которых участвовали в эквивалентных преобразованиях, будут протекать другие токи.
Другие
токи, т. е,
,
указанные
токи, будут другими, в том смысле, что у
них будут другими либо числовые значения,
либо направления. В то же время, как в
первой ветви, так и ветви с идеальным
источником ЭДС, токи должны остаться
прежними, т. е., их числовые значения и
направления не изменятся.
Учитывая, что процедура замещения источника тока эквивалентным источником ЭДС, в расчетах встречается часто, разберем подробно отмеченную выше особенность.
Принимая
во внимание, что в рассчитываемой цепи,
имеется ветвь с идеальным источником
ЭДС, то тогда, считая, что узел
заземлен, сразу же находим потенциал
узла
,
который будет равен
.
Итак, для расчета данной цепи по (МУП), необходимо составить систему, содержащую два уравнения. В данном случае, число уравнений совпадает с числом неизвестных потенциалов в оставшихся узлах.
Запишем
эту систему
,
следуя (МУП):
Осуществив
тривиальное тождественное преобразование
в системе
,
получим ей равносильную систему
,
имеющую вид:
Прежде всего, составим из коэффициентов при неизвестных, выражение для главного определителя для системы :
(1.120
)
Размерность главного определителя системы , как нетрудно проверить, будет:
.
Выполнив процедуру раскрытия этого определителя и подставив числовые значения для элементов, входящих в этот определитель, найдем его значение:
(1.120
).
Итак, главный определитель системы отличен от нуля, поэтому данная система – совместна, т.е., имеет единственное решение, это утверждение непосредственно следует, как указывалось выше, из элементов теории линейной алгебры.
Следуя, вышеуказанному алгоритму, последовательно находим:
первый
и
второй вспомогательный определители,
а затем по формуле Крамера – потенциалы
,
которые необходимы для решения
поставленной задачи.
Найдем теперь первый вспомогательный определитель, получающийся из главного определителя системы , для этого осуществим замену элементов его первого столбца – столбцом свободных членов.
(1.121
).
Размерность
у
первого
вспомогательного определителя системы
,
как нетрудно проверить, будет:
.
Выполнив процедуру раскрытия первого вспомогательного определителя второго порядка и осуществив подстановку числовых значений, найдем его числовое значение:
(1.121
).
Применяя
формулу Г. Крамера, найдем
величину потенциала второго узла:
(1.122).
Проверка, выполняемая с учетом размерностей для потенциала второго узла, как нетрудно видеть, дает:
.
После этого, используя закон Ома для обобщенной ветви, находим величину тока в первой ветви:
(1.123).
Итак, найденное значение тока в данном методе, полностью совпадает со значением этого тока, но полученного по (МКТ).
Следуя, выше принятому алгоритму, найдем теперь второй вспомогательный определитель, получающийся из главного определителя системы , для этого осуществим замену элементов второго столбца – столбцом свободных членов.
(1.124).
Выполнив процедуру раскрытия второго вспомогательного определителя второго порядка и осуществив подстановку числовых значений, найдем его числовое значение:
(1.125).
Применяя формулу Г. Крамера, найдем величину потенциала в третьем узле:
(1.126).
Используя закон Ома для обобщенной ветви, находим величину тока во второй ветви:
Итак,
найденное значение тока
в
данном методе, полностью совпадает со
значением этого тока, полученного по
(МКТ).
Покажем
теперь, что величины токов
не
будут равны соответственно величинам
токов
.
Действительно, располагая значениями потенциалов во всех узлах, и применяя обобщенный закон Ома, найдем величины токов в третьей и четвертой ветвях.
Значение
тока
в
третьей ветви, составит:
(1.127).
Значение
тока
в
четвертой ветви, составит:
(1.128).
Не
совпадение числовых значений у только,
что найденных токов
,
с числовыми значениями токов
,
полученными ранее в (МКТ), не случайно
и объясняется это тем, что элементы
третьей и четвертой ветвей использовались
при выполнении замещения источника
тока
на
эквивалентные источники ЭДС.
Для того
чтобы найти истинные значения токов
,
необходимо,
вернуться к цепи, схема которой приведена
на рис. 24. Обращаем внимание на то, что
условно выбранное положительное
направление тока
на
рис. 26, противоположно условно выбранному
направлению тока
,
указанному
на рис.24, в тоже время условные положительные
направления для токов
в обеих схемах выбраны одинакового
направления.
Используя,
найденное выше значение тока
и
учитывая то, что он сонаправлен с током
,
и применяя принцип суперпозиции, запишем
аналитическое выражение для
тока в четвертой ветви:
(1.129).
Выполнив подстановку числовых значений в соотношение (1.129),
найдем числовое значение тока в четвертой ветви:
(1.130).
Сравнивая
между собой числовые значения токов
,
убеждаемся в том, что эти значения
совпадают с точностью до знака.
Используя,
найденное выше значение тока
и
учитывая то, что он имеет направление
противоположное току
,
и, применяя принцип суперпозиции, запишем
аналитическое выражение для определения
тока в третьей ветви:
(1.131).
Выполнив подстановку числовых значений в соотношение (1.131), найдем числовое значение тока в третьей ветви:
(1.132).
Сравнивая
между собой числовые значения токов
,
убеждаемся в том, что эти значения
совпадают по модулю (абсолютной величине),
а по знаку – противоположны. Причина,
в силу которой эти токи
имеют
противоположные знаки, была указана
выше – это их различные условно изначально
выбранные положительные направления.
Заметим
кстати, что когда приступают к анализу
(расчету) линейных электрических цепей,
в частности цепей постоянного тока, то
как говорилось выше, произвольно
задаются положительными направлениями
токов в ветвях цепи. Поэтому в результате
расчета цепи, некоторые токи могут иметь
отрицательное значение, которое сторого
говоря, по физическому смыслу, иметь не
могут. Отрицательная величина, например,
у тока в
ветви, указывает лишь на то, что необходимо
изменит на противоположное его
первоначальное направление, однако,
выполнять это требование необязательно,
просто полученную величину необходимо
использовать в дальнейших расчетах.
Истинное направление токов в ветвях анализируемой цепи, можно безошибочно указать, тогда и только тогда, когда будут найдены числовые величины потенциалов в узлах цепи. Поскольку эти величины изначально неизвестны, то поэтому, произвольно и задаются положительными направлениями токов в ветвях, в каких – то ветвях, эти направления окажутся, как покажет дальнейший расчет, верными, а в других – нет. Поэтому и получаются в линейной электрической цепи постоянного тока, токи, имеющие отрицательные значения.
Покажем теперь, как следуя (МКТ), можно выполнить расчет цепи, схема которой была представлена выше на рис. 26.
Учитывая,
что контур, обозначенный через
последовательность его узлов
,
содержит ветви, элементы которых не
были задействованы в эквивалентных
преобразованиях источника тока
в эквивалентные источники
ЭДС,
целесообразно, один из контурных токов
оставить тем же, который применялся
ранее при анализе цепи по (МКТ). В качестве
другого контурного тока выбирается
контурный ток, обозначаемый через
символ
,
а его положительное направление, задается
через последовательность
его узлов.
Система
,
уравнений составленная по (МКТ), будет
иметь следующий вид:
(контур
),
(контур
).
Следуя методу Г. Крамера, решим систему .
Прежде всего, составим из коэффициентов при неизвестных, выражение для главного определителя системы :
(1.133).
Размерность
главного определителя системы
,
как нетрудно
проверить,
будет:
.
Выполнив процедуру раскрытия этого определителя и подставив числовые значения для элементов, входящих в этот определитель, найдем его значение:
(1.134).
Итак, главный определитель системы отличен от нуля, поэтому данная система – совместна, т.е., имеет единственное решение, это утверждение непосредственно следует, как указывалось выше, из элементов теории линейной алгебры.
Тогда, следуя, вышеуказанному алгоритму, последовательно находим: первый и второй вспомогательный определители, а затем по формуле Крамера – контурные токи.
Cоставляем
первый вспомогательный определитель:
Найдем теперь первый вспомогательный определитель, получающийся из главного определителя системы , для этого осуществим замену элементов его первого столбца – столбцом свободных членов.
(1.135).
Размерность у
первого
вспомогательного определителя системы
,
как нетрудно проверить, будет:
.
Осуществив процедуру раскрытия этого определителя и подставив числовые значения для элементов, входящих в этот определитель, найдем его значение:
(1.136).
Тогда,
воспользовавшись формулой Крамера,
найдем
первый контурный ток:
(1.137).
Отметим, что в первом контуре, обозначенном через последовательность его узлов, один из них - узел (2), строго говоря, не узел, а квази узел, точнее точка (2).
Из
топологии первого контура, непосредственно
следует,
ток
в первой ветви, будет равен контурному
току
,
что же касается значения тока
,
то его значение не равно значению тока
.
Интересно,
также отметить, что оба тока
равны между собой: ведь каждый из них
равен контурному току
.
В тоже время следующие токи
имеют различные значения величин, т.е.,
это различные токи.
Объяснение
этому очень простое: в самой первой
исходной цепи, схема которой приведена
выше на рис.20, имеются две ветви – третья
и четвертая, через элементы которых
замыкался
идеальный источник тока, и элементы
данных ветвей были использованы при
выполнении эквивалентных преобразований.
Поэтому структуры данных ветвей
изменились. Отсюда следует, что величины
токов
,
которые протекали в третьей и четвертой
ветвях исходной цепи (рис.21), будут не
равны значениям величин токов
,
которые протекают по уже измененным
ветвям (26).
Элементы
первой и второй ветвей в преобразованиях
такого рода не использовались, а это
указывает на то, что и их структура не
изменилась. Отсюда, сразу следует, что
величины этих токов
должны остаться прежними.
Cоставим
второй
вспомогательный определитель, получающийся
из
главного
определителя системы
:
для этого осуществим замену элементов
его второго столбца – столбцом свободных
членов, при этом первый столбец остается
без изменений.
(1.138).
Размерность у второго вспомогательного определителя системы , как нетрудно проверить, будет:
.
Осуществив процедуру раскрытия этого определителя и подставив числовые значения для элементов, входящих в этот определитель, найдем его значение:
(1.139).
Тогда, применяя формулу Крамера, найдем второй контурный ток:
(1.140).
Сопоставляя
между собой найденные выше значения
контурных токов
,
полученных по соотношениям: (1.108), (1.137),
убеждаемся, в равенстве их величин.
Аналогично, сопоставляя между собой результаты вычислений, совершенных по соотношениям: (1.111), и (1.140), которые служили для определения величины второго контурного тока, убеждаемся в их равенстве.
Используя
найденные значения контурных токов
,
осуществим проверку системы
.
Для этого в левую часть каждого уравнения,
входящего в эту систему, будем подставлять
найденные значения контурных токов
.
Выпишем первое уравнение, входящее в систему :
(контур ),
Тогда, после подстановки числовых значений контурных токов в его левую часть, будем иметь:
.
Найдем также числовое значение для правой части этого уравнения:
.
Итак, найденные значения контурных токов , удовлетворяют первому уравнению, составленному для первого независимого контура, системы .
Выпишем второе уравнение, входящее в систему :
Подставляя числовые значения контурных токов в его левую часть, найдем:
.
Найдем также числовое значение для правой части этого уравнения:
.
Итак, найденные значения контурных токов , удовлетворяют второму уравнению, составленному для второго независимого контура, системы .
Используя
найденные значения контурных токов
,
найдем
величину тока во второй ветви
.
Полученное
числовое значение
тока во второй ветви совпадает с числовым
значением этого тока, которое было
получено ранее при первоначальном
применении (МКТ).
После того, как были найдены контурные токи, будет нетрудно найти величины следующих токов: .
Действительно, из сопоставления рис.21 и рис.26, непосредственно находим нужные соотношения для указанных токов:
.
Найденные значения величин для токов , полностью совпадают со значениями этих же токов, которые были получены, в частности, при полном анализе исходной линейной электрической цепи, содержащем расчет баланса мощностей.
Теперь, после того, как были рассмотрены применения основополагающих методов анализа (МКТ) и (МУП), покажем лишь на одном примере, как можно определить величину тока в первой ветви электрической цепи, схема которой приведена ниже на рис. 27, используя при этом закон Ома для обобщенной ветви и разобранный выше метод контурных токов (МКТ).
Рис.27
Как и прежде, считаем, что потенциал узла равен нулю, тогда потенциал узла равен величине идеального источника ЭДС, т.е., имеет место последовательность следующих очевидных соотношений:
это с
одной стороны, а с другой, в силу (МКТ)
для контура, заданного через
последовательность узлов
,
можем записать:
.
(1.141).
Из
последнего соотношения найдем величину
контурного тока
:
(1.142).
Обращаем
особое внимание на то, что
величина
контурного тока, не равна
величине контурного тока для предыдущей
цепи, схема которой была приведена на
рис.26.
Причину
этого различия для указанных токов
понять не составит особого труда:
линейная электрическая цепь, схема
которой изображена на рис.26, содержала
в своем составе два независимых контура;
в которых циркулировали два контурных
тока
.
Теперь, в состав частично (не будет
расчета баланса мощностей) рассчитываемой
цепи – входит лишь один контур, в котором
циркулирует контурный ток
.
Изменилась
топология цепи: из первоначальной цепи
рис.26, исключена целая ветвь – первая.
Применение
закона Ома для участка цепи позволяет
найти
величину тока, движущегося от точки
к точке
:
(1.143).
Из последнего соотношения, в результате тривиальных преобразований, найдем выражение для потенциала в точке три:
(1.144
).
Осуществив подстановку числовых значений в соотношение (1.144), найдем величину потенциала в точке три:
(1.144
).
С целью
определения
потенциала в точке
,
запишем обобщенный закон Ома для участка
цепи
,
находящегося в состоянии “обрыва”.
Обобщенный закон Ома для указанного участка цепи, как не трудно понять, имеет следующий вид:
(1.145).
Учитывая,
то обстоятельство, что участок цепи
находится в состоянии “обрыва”, которое
по своей физической сути – соответствует,
режиму (ХХ), отсюда заключаем, величина
тока
равна
нулю.
Поэтому,
соотношение (1.145) можем записать в виде
следующей системы
:
Из
соотношения
системы
непосредственно находим
величину потенциала в квази точке
:
(1.146).
Подставляя в правую часть соотношения (1.146) числовые значения входящих сюда величин, находим величину потенциала в интересующей квази точке :
(1.147).
После
этого находим величину разности
потенциалов между квази точкой
и точкой
,
которая соответствует напряжению
:
(1.148).
Величина
входного
сопротивления активного двухполюсника,
определяемая согласно рис. 23, относительно
его входных зажимов
,
была найдена ранее по соотношению (1.93)
и составила
.
Используя
аналитическое выражение обобщенного
закона Ома применительно к первой ветви
(рис.26), находим
величину
тока в первой ветви, определяемого
согласно (МЭГ):
(1.149).
Итак, величина тока в первой ветви, найдена в последнем комбинированном случае анализа цепи, совпадает с величиной этого тока, ранее найденной с помощью других методов.
Завершим
сквозной пример расчета определением
входной проводимости первой ветви и
взаимной проводимости для второй ветви.
Схема, позволяющая рассчитать
входную проводимость первой ветви,
приведена ниже на рис.28.
Рис.28 Схема для определения входной проводимости первой ветви
По определению входная проводимость первой ветви, находится по соотношению:
.
Найдем
в общем виде выражение, для входного
(эквивалентного) сопротивления
,
которое определяется по отношению к
зажимам источника э.д.с.
.
После подстановки числовых значений, найдем:
.
После
этого, по закону Ома, записанного для
участка цепи, определяем
величину тока, протекающего в первой
ветви, при условии, что из активных
элементов цепи, функционирует лишь
источник э.д.с.
.
.
Тогда, числовое значение входной проводимости первой ветви, составит:
.
По определению взаимная проводимость между второй и первой ветвью, находится по соотношению:
.
Применяя
правило “разброса“ найдем значение
тока, протекающего во второй ветви, при
условии, что из числа активных элементов
цепи, функционирует лишь источник э.д.с.
.
.
Тогда, выражение, позволяющее определить взаимную проводимость между первой и второй ветвью, принимает следующий вид:
.
После подстановки числовых значений в последнее соотношение, найдем числовое значение для взаимной проводимости между второй и первой ветвью:
.
В заключении приведем два документа, которые были получены в результате использования инженерно – научного пакета Mathcad 11 .
Первый документ содержит фрагмент расчета линейной электрической цепи, полный анализ которой был дан выше, при этом результаты расчета трансформировались в среду Microsoft Word.
Второй
документ содержит следующее семейство
графиков
функций, аналитические
исследования, которых было изначально
проведено методами классического
математического анализа, а
затем их эскизы были трансформированы
в среду Microsoft
Word
(рис.
).
В
последующем графики этих же функций
были построены в пакете пакета Mathcad
11
.
Ниже на рис. 27 приведено это семейство графиков.
Выше, при проведении анализа линейной электрической цепи, осуществленного по следующим методам (МУП), (МКТ), (МЭГ), нами широко использовался метод Г. Крамера, как базисный метод, послуживший в дальнейшем для развития нового направления в математической науке и получившего название “ Линейной алгебры “.
Необходимо, отметить, что линейная алгебра предоставила для анализа электрических цепей и другой, не менее популярный, чем метод Крамера – матричный метод.
Следует отметить, что матричный метод, используемый в совокупности с теории графов, получил очень широкое применение т.к. этот симбиоз двух направлений математической науки, позволил осуществить переход от ручного – рутинного расчета электрических цепей к их машинному расчету, т.е., к применению вычислительной техники, в частности – персональных компьютеров (ПК).
Разумеется, что авторский коллектив, не мог проигнорировать это важнейшее направление, поэтому в одном из последующих выпусков будет приведен данный симбиоз, применяемый к машинному расчету линейных электрических цепей постоянного тока.
В заключение приведем несколько различных примеров линейных электрических цепей, подлежащих анализу, с помощью выше описанных методов.
Безусловно, такой анализ позволит, во – первых, лучше осмыслить различные вышеприведенные методы расчетов линейных электрических цепей; во – вторых, увидеть преимущества одних методов расчета перед другими методами и понять то, что топология самой цепи, очень часто, помогает в осуществлении выбора эффективного метода расчета.
Кроме этого, необходимо отметить, что отрабатывая технику расчета линейных электрический цепей постоянного тока, различными методами, читатель (слушатель) подготавливается к анализу более сложных линейных цепей, но уже переменного тока.
При этом читатель (слушатель) в дальнейшем увидит, что все ранние им творчески освоенные методы, плавно трансформируются в методы расчета переменного тока как однофазного, так и трехфазного тока, так и в анализ более сложных линейных цепей другого вида.
Ниже приводятся схемы двадцати восьми вариантов линейных цепей постоянного тока, подлежащих анализу (расчету). Этот анализ осуществляется в виде расчетно – графической работы, выполняемой в рамках самостоятельной подготовке согласно рабочей программе по дисциплине “Электротехники и электроника“ и представляет собой промежуточную форму текущего отсчета (рубежного контроля), проводимого в семестре.
Задание
на расчетно-графическую работу по теме:
”Расчет разветвленной цепи постоянного
тока“
.
Содержание задания:
Написать, используя законы Кирхгофа, систему уравнений для определения токов в ветвях исходной линейной электрической цепи.
Следуя методу контурных токов определить неизвестные токи в ветвях исходной линейной электрической цепи.
Составить баланс мощностей для исходной линейной электрической цепи.
Следуя методу эквивалентного генератора определить ток в ветви, содержащей элементы
,
а также найти величину и направление
источника Э.Д.С., который необходимо
включить в указанную выше ветвь, для
того чтобы ток, протекающей в ней,
изменил свое направление и увеличился
вдвое.Определить величины напряжений, которые измеряются вольтметрами, установленными в исходной цепи.
Определить входную проводимость ветви, содержащую элементы , а так же взаимную проводимость с ветвью, содержащей элементы цепи
.
Указания
При выполнении пункта 4необходимо найти величину напряжения
.
Расчет токораспределения в оставшейся
части схемы надлежит
выполнить по методу узловых потенциалов.
Входное сопротивление эквивалентного
генератора, необходимо определить
методом эквивалентного преобразования
схем.Номер схемы соответствует последним четырем цифрам в студенческом билете (зачетной книжке).
3.Числовые
значения элементов электрической цепи
выбираются в соответствии с номером
группы из таблиц 1.1.
.
Таблица1.1 (а)
|
|
|
|
|
|
|
|
|
магистры1 |
8 |
5 |
4 |
6 |
6 |
7 |
2 |
3 |
магистры 2 |
6 |
4 |
5 |
4 |
5 |
8 |
3 |
2 |
адъюнкты
|
5 |
5 |
6 |
5 |
2 |
2 |
2 |
2 |
адъюнкты |
4 |
4 |
5 |
3 |
2 |
3 |
2 |
3 |
слушатели I |
3 |
8 |
10 |
2 |
4 |
5 |
6 |
4 |
слушатели |
2 |
4 |
8 |
10 |
12 |
14 |
16 |
18 |
слушатели
|
3 |
6 |
9 |
12 |
15 |
18 |
21 |
24 |
слушатели |
4 |
8 |
12 |
16 |
20 |
24 |
28 |
32 |
курсанты (специалитет) |
5 |
10 |
15 |
20 |
25 |
30 |
35 |
40 |
курсанты I (специалитет) |
6 |
12 |
18 |
24 |
30 |
36 |
42 |
48 |
курсанты (специалитет) |
3 |
5 |
7 |
9 |
11 |
13 |
15 |
17 |
курсанты (специалитет) |
5 |
7 |
9 |
11 |
13 |
15 |
17 |
19 |
курсанты (бакалавриат) |
7 |
9 |
11 |
13 |
15 |
17 |
19 |
21 |
курсанты (бакалавриат) |
|
|
|
|
|
|
|
|
курсанты (бакалавриат) |
9 |
11 |
13 |
15 |
17 |
19 |
21 |
23 |
студенты |
11 |
13 |
15 |
17 |
19 |
21 |
23 |
25 |
студенты |
13 |
15 |
17 |
19 |
21 |
23 |
25 |
27 |
студенты |
15 |
17 |
19 |
21 |
23 |
25 |
27 |
29 |
группы
I
I
Таблица 1.1 (б)
группы
|
|
|
|
|
|
|
|
магистры1 |
4 |
2 |
50 |
30 |
40 |
50 |
30 |
магистры 2 |
4 |
2 |
40 |
30 |
20 |
50 |
20 |
адъюнкты |
4 |
2 |
50 |
40 |
30 |
20 |
10 |
адъюнкты |
4 |
2 |
40 |
50 |
60 |
30 |
15 |
слушатели |
6 |
4 |
20 |
40 |
80 |
100 |
120 |
слушатели |
2 |
4 |
10 |
20 |
40 |
60 |
80 |
слушатели |
6 |
2 |
30 |
10 |
20 |
40 |
60 |
слушатели |
3 |
6 |
15 |
30 |
25 |
50 |
70 |
курсанты (специалитет) |
8 |
6 |
25 |
40 |
50 |
60 |
80 |
курсанты (специалитет)
|
2 |
8 |
30 |
50 |
60 |
80 |
100 |
курсанты (бакалавриат) |
5 |
7 |
10 |
20 |
40 |
60 |
80 |
курсанты (специалитет) |
1 |
2 |
30 |
50 |
70 |
80 |
90 |
курсанты (бакалавриат) |
6 |
8 |
20 |
10 |
30 |
60 |
120 |
курсанты (бакалавриат) |
10 |
12 |
20 |
30 |
50 |
100 |
200 |
курсанты (бакалавриат) |
3 |
5 |
40 |
45 |
90 |
180 |
100 |
студенты |
8 |
6 |
50 |
90 |
140 |
280 |
300 |
студенты |
2 |
1 |
6 |
15 |
80 |
95 |
150 |
студенты |
4 |
3 |
25 |
75 |
100 |
200 |
125 |
|
|
|
|
|
|
|
|
