5. Расчет цепей постоянного тока методом эквивалентного генератора

5.1. Исходные положения метода: теорема об активном двухполюснике и закон Ома для обобщенной ветви

В данной лекции рассматривается методология анализа линейной электрической цепи. В теории линейных электрических цепей, как правило, под анализом цепи понимают следующее: задана топология цепи, заданы величины элементов цепи, требуется определить законы токов, протекающих в ветвях – это в общем случае, а в частном - их величины, это же замечание относится и к падениям напряжений на ветвях, составить баланс мощностей.

Электротехническая наука за свою более чем двухсотлетнюю историю развития создала несколько методов, которые широко применяются при анализе линейных цепей. Одним из таких методов является метод эквивалентного генератора.

Данный метод расчёта линейных электрических цепей в учебной литературе имеет и другие названия. Он называется также методом эквивалентного источника, методом активного двухполюсника или методом холостого хода и короткого замыкания. Каждое из этих названий несёт определённую смысловую нагрузку, которая станет понятной по мере его рассмотрения. Следует отметить, что название метода не меняет его физической сущности.

Как нами было сказано выше, при анализе цепей часто приходится определять ток, напряжение и потребляемую мощность в одной из ветвей сложной схемы. Для определе­ния этих величин можно выделить эту ветвь из схемы, представив остальную часть схемы активным двухполюсником с двумя выходными зажимами.

Активный двухполюсник, каким бы он ни был сложным по своему внутреннему содержанию, можно заменить на простейший эквивалентный источник электрической энергии, состоящий либо из идеального источника напряжения (ЭДС), либо из идеального источника тока (J), и некоторого сопротивления, находящегося в нутрии этого источника.

Эквивалентные источники должны быть такими, чтобы напряжение или потребляемый ток на их зажимах сохранялись неизменными. Если будут определены параметры такого эквивалентного источника, то тогда ток в рассматриваемой ветви, можно найти следуя закону Ома для обобщенной ветви. Этот метод был предложен выдающимся немецким естествоиспытателем 19 века Германом Гельмгольцем. Возможность замены активной части схемы эквивалентным источником с определением его параметров доказывается в теореме об активном двухполюснике (отсюда следует одно из названий метода) .

Теорема исследована в двух вариантах: когда активный двухполюс­ник заменяется эквивалентным источником напряжения (это теорема Тевенена) и когда этот источник замещается эквивалентным источником тока (теорема Нортона). Источник напряжения и источник тока могут быть взаимно преобразованы об этом говорилось выше. Поэтому чаще используется один из этих вариантов, в частности, при замене активного двухполюсника эквивалентным источником напряжения , т.е, применяют теорему Тевенена.

5.1.2. Теорема об активном двухполюснике

Рассмотрим первый вариант теоремы.

Активным двухполюсником называют любую электрическую цепь, содержащую источники электроэнергии и два полюса (зажима), к которым, может быть подключен потребитель электрической энергии т. е., нагрузка.

Согласно этой теореме активный двухполюсник может быть заменён эквивалентным источником напряжения, у которого ЭДС равна напряжению на зажимах двухполюсника в отсутствии нагрузки ( это режим холостого хода), а внутреннее сопротивление источника - входному сопротивлению относительно этих зажимов.

Теорема доказывается следующим образом.

Активный двухполюсник, изображенный на рис. 16, не изменит своего режима функционирования, если в его цепь включить два источника электродвижущих сил: при этом, величины ЭДС этих источников равны, но направлены они встречно, как это показано на рис. 17. Режим функционирования активного двухполюсника не изменится и в том случае, если эти ЭДС будут равны напряжению холостого хода на его зажимах. Однако при этом можно утверждать, что одна из ЭДС противоположного направления полностью компенсирует напряжение на зажимах двухполюсника и превратит активный двухполюсник в пассивный.

Рис. 16. Условное графическое изображение активного двухполюсника, находящегося в режиме холостого хода.

Рис. 17. Условное графическое изображение активного двухполюсника, находящегося в режиме холостого хода, при этом к одному из зажимов двухполюсника подключены два идеализированных встречно - направленных источника эдс.

Рис. 18. Условное графическое изображение пассивного двухполюсника, находящегося в режиме холостого хода, когда к одному из зажимов двухполюсника подключен идеализированный источник эдс.

Из всего выше сказанного следует, что любой активный двухполюсник может быть замещен в виде комбинации двух элементов цепи: пассивного двухполюсника и источника ЭДС, величина которой равна величине напряжения холостого хода на зажимах активного двухполюсника (рис.18). Пассивный же двухполюсник, как элемент цепи, всегда может быть представлен в виде резистора, величина которого совпадает с величиной входного сопротивления относительно, его входных зажимов.

Процедура определения входного сопротивления активного двухполюсника состоит в следующем: если внутри данного двухполюсника имеются ветви, содержащие идеальные источники электродвижущих сил, то такие источники исключаются посредством их закорачиванию; если же внутри рассматриваемого двухполюсника имеются ветви с идеальными источниками тока, то такие ветви – разрываются.

Если выделенную часть линейной электрической цепи рассматривать как активный двухполюсник, в состав которого входят реальные источники, то тогда при определении входного сопротивления этого двухполюсника сами источники исключаются, но обязательно остаются их внутренние сопротивления.

Наиболее контрастно этот алгоритм можно проиллюстрировать на примере простейшей схемы замещения источника напряжения с внутренним сопротивлением , представленной выше на рис.12. Из его вольт - амперной характеристики (ВАХ) вида следует, что при отсутствии тока во внешней цепи напряжение на его зажимах будет равно ЭДС. И наоборот, ЭДС будет равна напряжению холостого хода на его зажимах .

Если в этой же схеме закоротить зажимы, то тогда при , предыдущее соотношение принимает следующий , а из него находим, что внутренний ток источника будет равен то­ку короткого замыкания

.

Отсюда с учетом того, что выполняется условие

находим выражение для определения внутреннего сопротивления источника:

.

Таким образом, внутреннее сопротивление всегда равно отношению величины напряжения холостого хода, определяемого относительно зажимов источника, к величине тока короткого замыкания. Применительно к рассматриваемой цепи можем утверждать, что величина внутреннего сопротивления источника будет равна величине входного сопротивления, найденного относительно его зажимов, т.е., выполняется соотношение:

.

Итак, рассмотренные параметры источника электрической энергии, позволяют этот источник уподобить эквивалентного активному двухполюснику. В тоже время сами эти параметры могут быть установлены экспериментально. Вольтметром замеряется напряжение холостого хода, а амперметром - ток короткого замыкания на его зажимах. Это позволяет, выполнив процедуру деления первого результата измерения на второй результат измерения, найти величину входного сопротивления двухполюсника.

Если при расчётах методом эквивалентного генератора возникает необходимость использовать эквивалентный источник тока, переход к нему от эквивалентного источника напряжения возможен через их взаимные преобразования без проведения доказательства второго вариан­та теоремы.

5.1.3. Порядок расчёта (алгоритм) тока в отдельно взятой ветви методом эквивалентного генератора

1.Выделяем ветвь, в которой необходимо рассчитать ток. Остальная часть схемы принимается за активный двухполюсник. Мысленно устраняем (обрываем) ветвь, в которой необходимо определить ток, и после этого рассчитываем величину напряжения на зажимах активного двухполюсника, т.е., находим напряжение холостого хода на его зажимах, к которым ранее была подключена исключенная ветвь.

2. Определяем напряжение холостого хода активного двухполюсника на зажимах (узлах, полюсах), к которым была присоединена рассматриваемая ветвь. Это выполняется в следующей последовательности.

Первоначально определяются токи в активном двухполюснике - во вновь образованной схеме при отсутствии рассматриваемой ветви. Расчёт этих токов с последующим определением падений напряжений на пассивных элементах преобразованной цепи(одна ветвь исключена нами) проводится любым известным методом. Здесь необходимо сделать одно дополнение относительно выбора метода расчета. Эффективный метод расчета – метод, который обладает наименьшей трудоемкостью, т.е., с математической точки зрения, это метод, который описывается наименьшим числом уравнений .

Затем с помощью алгебраического суммирования падений напряжений на существующих элементах, находящихся в ветвях, вычисляется разность потенциалов в ветвях, расположенных между рассматриваемыми узлами. Эта разность потенциалов и будет являться напряжением холостого хода для активного двухполюсника.

Для правильного решения задачи важно знать не только величину, но и “направление” этого напряжения. Слово направление в предыдущем предложении было заключено в кавычки не просто так. Дело в том, что по своей физической природе напряжение – разность потенциалов, представляет собой скалярную величину, а поэтому, о его направление речь может идти лишь весьма условно.

Для того чтобы указывать условное направление напряжения проводят индексацию узлов цепи. В этой связи узлы обозначают индек­сами (например, 1 и 2), определив, какой из узлов будет иметь максималь­ный потенциал, так как

(1.85).

Пусть, например, _.потенциал узла, индекс которого стоит первым, как правило, считается большим в алгебраическом смысле, и напряжение направлено от большего потенциала к меньшему.

Определяем для эквивалентной замены входное сопротивление двухполюсника. Существует два способа, позволяющие определить величину входного сопротивления . Первый из них выполняется следующим образом.

Условно превращаем активный двухполюсник в пассивный: все ЭДС, действующие внутри его, подлежат закорачиванию (если они представляют собой идеальные источники напряжения с нулевыми внутренними сопротивлениями), а все ветви с идельными источниками тока разрываются.

Используя известные правила эквивалентных преобразований для пассивных элементов цепи, в частности для резисторов, ввычисляем входное сопротивление .

Второй способ определения величины входного сопротивления сводится к следующему.

Любым известным способом определяется величина тока короткого замыкания при закороченных выходных зажимах активного двухполюсника. Далее, зная значения величин , находим величину входного сопротивления по следующему соотношению:

(1.86).

После определения основных параметров эквивалентного генерато­ра ( ) схема его приобретает простейший вид (рис. 19). Тогда выражение, служащее для определения тока в выделенной ветви с сопротивлением R, представляет собой закон Ома для обобщенной ветви:

Если в ветви, в которой требуется определить ток (рис.19), вместе с резистором R включен идеальный источник электродвижущей силы (ЭДС) , направление действия которой совпадает с направлением напряжения , то тогда закон Ома для обобщенной ветви принимает другую форму записи:

(1.88).

Если в разобранном выше случае, ЭДС будет включена встречно по отношению к направлению напряжения , то тогда эта ЭДС в соотношение (1.88) войдет с отрицательным знаком.

Рис.19 Схема активного двухполюсника, полученная в результате эквивалентных преобразований, совершенных в рассматриваемой цепи (пример 1), и соответствующая теореме Тевенина

Рис.20 Схема активного двухполюсника, полученная в результате эквивалентных преобразований, совершенных в рассматриваемой цепи (пример 1), и соответствующая теореме Нортона

При замене активного двухполюсника эквивалентным источником тока можно принять, что эквивалентный источник тока (рис.20) содер­жит идеальный источник с током, равным току короткого замыкания , и параллельно с ним включенный резистор с величиной, равной _.

При этом ток распределяется между двумя резисторами, и включенными параллельно. Тогда интересующий нас ток можно определить следующим образом:

(1.89)

где .

Если в состав выделяемой ветви, кроме резистора с сопротивлением входит еще и источник ЭДС, направление которой совпадает с направлением тока в этой ветви, то тогда аналитическое выражение для определения величины тока, имеет следующий вид;

(1.90).

Метод эквивалентного генератора чрезвычайно удобен для расчёта тока и напряжений, когда величина сопротивления в исследуемой ветви принимает целый ряд значений (переменное значение). При этом расчёт сводится к анализу простейшей одноконтурной эквивалентной схемы.