Заключение
На этом аналитическое исследование режимов функционирования линейной электрической цепи завершается, а все результаты, полученные в ходе исследования, сводятся нами в табл. 1.
Таблица 1
Режимы функционирования линейной электрической цепи
№ п/п |
Режим короткого замыкания (КЗ)
|
Режим согласования (РС) |
Режим холостого хода (ХХ) |
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
4 |
|
|
|
5 |
|
|
|
Очередная фаза исследований состоит в построении графиков следующих зависимостей:
;
;
;
;
.
Графики
указанных выше зависимостей приведены
на рис.
.
1
–
;
2 –
;
3 –
;
4
–
;
5 –
.
Из проведенного выше аналитического исследования и графиков функций, построенных на основе его результатов, получаем следующие выводы:
1) энергетически целесообразным является режим согласования, при котором мощность в нагрузке максимальна возможная;
2) критически опасным режимом является режим короткого замыкания, при котором вся мощность, вырабатываемая источником энергии, им самим и поглощается. Это обуславливает физическое разрушение источника и создает пожароопасную критическую обстановку.
Ниже
представлена совокупность графиков
функций, среди которых приведены в одной
системе координат два графика одной и
той же функции, а именно
мощности в нагрузке.
Построение
одного из этих графиков
,
было выполнено
в пакете Mathcad,
а эскиз другого
было
проведено по результатам исследования,
выпаленного выше, в соответствии с
классическими методами математического
анализа
.
Сопоставление
двух графиков
,
отображенных на приведенных выше
рисунках
,
построение
которых выполнено в одной системе
координат, позволяет сделать следующее
заключение.
Из
визуального сопоставления видно, что
у графика функции
так же, как и у
графика
наблюдается максимальное значение при
значении величины сопротивления нагрузки
равном
,
при этом каждая из этих функций монотонно
возрастает и вогнута “вверх“, для всех
значений величины сопротивления
нагрузки, берущихся из следующего
интервала
.
После достижения своего максимального значения, первая кривая, сразу же начинает монотонно убывать, устремляясь асимптотично к нулю, оставаясь при этом вогнутой “вниз“.
Что же касается четвертой кривой, то как нетрудно видеть, характер ее изменения совершенно другой, чем у первой кривой: после достижения своего максимума, она монотонно убывает, оставаясь при этом вогнутой
“вверх“.
Когда же значение аргумента функции,
графиком которой данная кривая является,
станет равным величине
,
то тогда у функции
,
как это следует из проведенного
исследования, выполненного в соответствие
с методами математического анализа,
обнаруживается точка перегиба. На
графике функции
эта точка –
критическая точка второго рода, отделяет
интервал вогнутости “вверх“ от интервала
вогнутости “вниз “.
После этого график четвертой функции начинает монотонно убывать, устремляясь асимптотично к нулю.
Дополним математический анализ первой и четвертой функции, их физическим анализом используя для этого исходную линейную электрическую цепь (рис.1).
Когда
обе эти функции достигают одного и того
же максимального значения, а это имеет
место при выполнении следующего условия
,
т.е., тогда, когда первая производная
,
то тогда
общее
(эквивалентное) сопротивление
рассматриваемой цепи, может быть найдено
так:
.
Отсюда, находим:
.
Этот режим был определен ранее как режим согласованной нагрузки.
Применяя
второй закон Кирхгофа к этому режиму,
найдем, что величина падения напряжения
на
внутреннем сопротивлении источника,
определяемая по соотношению
,
равна
величине падения напряжения на
сопротивлении
нагрузки, а сумма этих падений напряжений
равняется величине э. д. с источника.
Если
продолжать движение по графику функции
влево от критической
точки первого рода, то следует отметить,
что сама эта функция монотонно убывает,
оставаясь при этом вогнутой “вверх“,
до тех пор, пока величина
не станет равной
удвоенному значению внутреннего
сопротивления источника. Это наблюдается
в критической точке второго рода.
Найдем выражение для общего (эквивалентного) сопротивления в этом случае:
.
Отсюда, находим:
.
В этом случае, так же, как и ранее, сумма падений напряжений на внутреннем сопротивлении и на сопротивлении нагрузки будет равна величине э.д.с источника.
Однако
большая часть падения напряжения будет
осуществляться на сопротивлении
нагрузки, порядка
,
а меньшая часть – на внутреннем
сопротивлении источника, порядка
.
Для
дальнейшего продолжения физико-математического
анализа рассматриваемой цепи, необходимо
выяснить какой инженерно – физический
смысл, вкладывается в следующую
математическую запись
Применительно к анализируемой цепи символьная запись , означает, что произошел “обрыв“ ее участка, содержащего потребитель (приемник) энергии.
Однако существует более общая инженерно – физическая трактовка символьной записи .
В
инженерно – физическом подходе к
изучаемым природным явлениям, принято
считать, что если одна физическая
величина
какого – либо рода, много больше другой
физической величины
того же рода, то это условие отображается
либо в виде двойного строгого неравенства
,
либо в виде следующей дроби
.
В таком случае, физики и инженеры, говорят о том, что первая физическая величина больше второй физической величины, однородной с ней, на порядок.
Любое
из двух последних выражений отождествляется
инженерами и физиками с условной
математической записью
.
Учитывая это, можно говорить, что с точки зрения инженера и физика, для того, чтобы с эмиттировать режим холостого хода вовсе не следует производить режим “обрыва“ ветви с нагрузкой, достаточно лишь добиться выполнения следующего условия
.
Определим теперь относительное значение величины сопротивления нагрузки к величине внутреннего сопротивления источника энергии для двух случаев.
Первый случай – это случай, когда величина сопротивления нагрузки численно будет равна учетверенному значению величины внутреннего сопротивления источника, т.е., когда имеет место равенство
.
Найдем выражение для общего (эквивалентного) сопротивления в этом случае:
.
Отсюда, находим:
.
Второй случай – это случай, когда величина сопротивления нагрузки численно будет равна удесятеренному значению величины внутреннего сопротивления источника, т.е., когда имеет место равенство
.
Найдем выражение для общего (эквивалентного) сопротивления в этом случае:
.
Отсюда, находим:
.
Итак, из приведенных выше расчетов и обоснований, можно сделать следующий вывод.
Если
выполняется следующее двойное нестрогое
неравенство вида
,
то величины внутреннего сопротивления
источника и сопротивления потребителя
соизмеримы с физической точки зрения.
Если
выполняется следующее нестрогое
неравенство вида
,
то величины внутреннего сопротивления
источника и сопротивления потребителя
перестают быть соизмеримыми.
Если
выполняется следующее равенство вида
,
то величины внутреннего сопротивления
источника и сопротивления потребителя
представляю собой физические величины
различных порядков.
Выясним,
по какому закону будет изменяться
мощность в нагрузке в случае, когда
величина
сопротивления нагрузки численно будет
равна утроенному значению величины
внутреннего сопротивления источника,
т.е., когда имеет место следующие равенство
.
Для этого выполним следующее вычисление:
.
Последние
полученное выражение позволяет
утверждать, что в первом приближении
график функции
,
начинает подчиняться квази гиперболическому
закону изменения, начиная со значения
величины сопротивления нагрузки, равного
.
Это и отображается на четвертом графике
функции
,
на котором кривая становится вогнутой
“вниз“, сразу же после критической
точки второго рода. Поэтому вогнутости
“вниз” можно дать следующие физическое
истолкование: на интервале, на котором
начинает преобладать величина
сопротивления нагрузки над величиной
внутреннего сопротивления источника
энергии, а это имеет место, когда
выполняется следующее двойное неравенство
,
то тогда на этом интервале кривая, представляющая собой график функции, будет вогнута вниз.
С другой стороны, следует отметить, что на графике этой же функции, представленной первой кривой, гиперболический закон ее изменения, отмечается от значения
,
т.е., от критической точки первого рода, а это не соответствует физико-математической сущности анализируемой цепи.
Попытаемся теперь разобраться в причине того, почему у графика первой функции, график которой построен в пакете Mathcad 2011, не наблюдается точки перегиба .
Объясняется это следующим образом.
Дело в том, что функция
,
которая
представляет собой дробно – рациональную
функцию, не входит во множество тех
функций, которые на этапе создания
исходных файлов пакета Mathcad
2011 “прошиваются “ в нем, а затем из них
создается библиотека. Такая библиотека,
расположенная в общем случае в списке
функций, и называется, как
(имя функции)
.
В силу этого обстоятельства, пакет Mathcad 2011 выполняет расчет функции , используя для этой цели ее аппроксимацию в виде сплайнов, т.е., представляя ее в виде кусочно-линейной последовательности отрезков.
Отмеченный факт указывает на то, что чрезвычайно опасно при выполнении как инженерного, так научного исследования, полагаясь при этом исключительно на готовые зарубежные пакеты. Здесь будут весьма к месту слова академика А. Б. Мигдала – известного советского физика теоретика, сказанные им при встрече с молодыми научными сотрудниками: “… прежде, чем переходить к расчету полученных вами аналитических соотношений, используя для этой цели ЭВМ, целесообразно осуществить их анализ, используя для этого мощные методы математического анализа“.
Отметить
здесь, что в основном ряд отечественных
авторов, рассматривают мощность в
нагрузке либо как функцию от тока
,
либо как функцию от величины нагрузки
,
ограничиваясь при исследовании этой
функции лишь первой ее производной
.
При этом надлежит отметить, что в первом подходе опускается из виду то обстоятельство, что
аналитическое выражение тока, изначально записанное – функция от величины сопротивления нагрузки.
При втором подходе, как было сторого показано выше, ограничиваться в исследовании функциональной зависимости , лишь первой ее производной не достаточно: поскольку при этом график данной функции перестает соответствовать физической сущности анализируемой цепи.
Таким образом, физическую сущность анализируемой цепи, можно понять тогда и только тогда, когда будет осуществлен ее полный анализ, основанный на классических методах математического анализа.
Здесь же отметим, что такой анализ позволяет с одной стороны, обосновать инженерно – физический подход, направленный на практическое достижение максимального значения коэффициента полезного действия (КПД) всей линейной электрической цепи, а с другой – теоретически обосновать существования критерия, позволяющего на практике осуществить это достижение.
Действительно, перепишем полученное выше соотношение для КПД цепи
,
в следующем равносильном виде:
..
В
последнем соотношении
КПД цепи, выражено непосредственно
через величины следующих сопротивлений:
величину
внутреннего сопротивления источника
энергии и
величину сопротивления нагрузки.
Найдем числовое значение КПД цепи при различных значениях величины сопротивления нагрузки:
а)
если величина
составит удесятеренное значение величины
,
то тогда
б) если величина будет в двадцать раз превышать значение величины , то тогда
в) если величина будет в тридцать раз превышать значение величины , то тогда
.
Теперь, становится понятно, почему в теоретическом исследовании значение КПД цепи, в случае неограниченного увеличения по величине сопротивления нагрузки, сколь угодно близко приближается к единице.
Интересно
отметить, что из выше записанного
соотношения для КПД цепи
,
совершенно очевидно, что чем больше
величина падения напряжения на
сопротивлении нагрузки, тем выше значение
КПД.
Учитывая, что вопрос о значении КПД цепи является одним из центральных вопросов электротехнической науки, в силу этого, неизбежно возникает потребность дать обоснованный критерий, позволяющего реально достичь максимально возможного в практической деятельности значения КПД.
Анализ
первого графика интересующей функции,
представленной на рис.
,
не позволяет даже теоретически подойти
к выбору такого критерия. В то время как
четвертый график, представленный на
том же рисунке, не только позволяет
теоретически обосновать существование
такого критерия, но что не менее важно,
позволяет практически рассчитать
совокупность значений КПД цепи и создать
базис необходимый для моделирования
режима ХХ, т.е., без использования режима
“обрыва“ ветви с пассивным потребителем
энергии.
В практическом аспекте, необходимо отметить следующее: достаточно выбрать надлежащим образом величину сопротивления нагрузки, чтобы в соответствии с потребностями практики, получить нужное значение для КПД цепи, в качестве момента отсчета, начиная с которого надлежит выбирать соответствующее значение сопротивления нагрузки, следует считать критическую точку второго рода. В этом и состоит физический смысл этой точки – точки перегиба.
Ниже
нами приводится множество рисунков
,
на каждом из которых представлен
результат виртуального моделирования
линейной электрической цепи, выполненный
в программе Electronics
Workbench,
и на котором отображено вычисленное
числовое значение КПД цепи при
фиксированном значении величины
сопротивления
нагрузки
.
Из анализа всей совокупности этих рисунков можно сделать вывод о теоретически правильном выборе критерия для КПД цепи и практической реализуемости процесса моделирования режима ХХ не прибегая при этом к режиму “обрыва“ ветви с пассивным потребителем электрической энергии.
Вернемся к рассматриваемой схеме, представленной выше рис. 1.
Используя полученные ранее результаты, можно получить следующие изображения схем, характеризующих два граничных режима: режим КЗ и режим ХХ.
Выше нами было получено соотношение (1.1) для режима короткого замыкания:
,
которое указывает на то, что величина внутреннего сопротивления источника электрической энергии много больше, чем величина сопротив - ления нагрузки, т.е., выполняется двойное строгое неравенство вида
.
При этих условиях получаем, что величина тока в цепи определяется только через отношение величины ЭДС источника к величине его внутреннего сопротивления и не зависит от величины сопротивления нагрузки. Нагрузка просто отсутствует - она закорочена.
Получается, что в режиме КЗ источник энергии как – бы одновременно “работает“ в двух режимах:
а) в своеобразном “генераторном“ режиме – нагрузкой выступает внутреннее сопротивление источника,
б) в режиме потребителя – источник сам и поглощает всю энергию.
Выше
нами слово работает, не просто было,
заключено в кавычки; существо
рассматриваемого явления состоит в
том, что закон сохранения энергии,
примененный к такой цепи, безусловно,
выполняется. Однако, источник электрической
энергии, изначально выступающий, как
источник ЭДС, модифицируется в данном
режиме в источник другого вида – в
источник тока
.
Закон сохранения энергии и вытекающий из него закон Джоуля – Ленца, указывают нам на то, что существовать сколь угодно долго такая цепь не может, как раз наоборот, она может существовать чрезвычайно малый интервал времени.
Переходим
теперь к рассмотрению источника нового
вида – источника тока и выполнения ряда
эквивалентных преобразований над
схемами, содержащими такой источник
.