Схемы на основе аналитического решения (аналитико-разностные схемы).

О дним из способов построения разностных схем является использование точного аналитического решения на интервале интегрирования равного шагу сетки. В пределах интервала интегрирования используется новая координатная ось t как показано на рис. 3 и проводится решение уравнения (2.9):

(2.9)

В зависимости от способа представления B возможны варианты организации схем.

Схема при постоянном воздействии (схема B=const).

При В=const аналитическое решение (2.9) имеет вид:

где В - принятое на интервале интегрирования постоянное значение воздействия. Разумно принять: . Тогда:

(2.10)

Рассмотренная схема абсолютно устойчива, поскольку всегда выполняется условие:

(2.11)

Схема при линейном воздействии (схема B=a+bt).

При линейной зависимости B=a+bt аналитическое решение (2.9) имеет вид:

(2.12)

С учетом того, что на интервале интегрирования принято линейное изменение величины В от f(x_i-1) до f(x_i) в нашем случае:

.

Разностная схема принимает вид:

(2.13)

Рассмотренная схема абсолютно устойчива, поскольку всегда выполняется условие (2.11).

Схема Рунге-Кутта четвертого порядка (решение уравнения 2.2).

(2.14)

Оценка погрешности разностных схем

Для оценки погрешности метода возникающей при использовании разностных схем проводилось сравнение аналитического и численных решений модельного уравнения. В качестве модельного уравнения выбрано обыкновенное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами (2.15), описывающее переход объекта из возмущенного состояния в положение статического равновесия.

(2.15)

где А – коэффициент отражающий свойства объекта;

 – независимая переменная.

Сравнивались решения для значения τ=Δτ. Расчет относительной погрешности решения модельного уравнения (2.15) проводился по зависимости:

(2.16)

где Yч – численное решение модельного уравнения;

Yа – аналитическое решение модельного уравнения;

Y₀ – начальное значение параметра отражающего состояние объекта.

Решения модельного уравнения.

1. Аналитическое:

(2.17)

2. Явная разностная схема:

условие устойчивости (2.18)

3. Неявная разностная схема:

условие устойчивости (2.19)

4. Схема трапеций:

условие устойчивости (2.20)

5. Схема Рунге-Кутта 4го порядка:

условие устойчивости (2.21)

6. Аналитико-разностные схемы:

условие устойчивости (2.22)

На рис.2.4 приведены графики решения модельного уравнения (2.15) с использованием различных разностных схем кроме экспоненциальных. Решение по экспоненциальным схемам совпадает с аналитическим.

На рис.2.5 показано изменение погрешности численного решения модельного уравнения.

Приведенные графики позволяют в первом приближении оценить возможную погрешность численного решения и выбрать разностную схему.

При выборе разностной схемы объязательно необходимо проводить оценку устойчивости схемы (явная, трапеций, Рунге-Кутта).