11 Челабчи в.Н “Численные методы” Конспект лекций Часть 2

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ

ОДЕССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ МОРСКОЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра «Техническая кибернетика»

Челабчи В.Н.

“ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ”

(Часть 2)

Конспект лекций

Специальность 6.080400 «Информационные управляющие системы и технологии»

Конспект лекций может использоваться студентами

всех специальностей и аспирантами ОНМУ.

Одесса 2012 г.

Конспект лекций подготовлен преподавателем кафедры «Техническая кибернетика» проф. Челабчи В.Н., рассмотрен на заседании кафедры «Техническая кибернетика» и рекомендован к использованию в учебном процессе ОНМУ.

Оглавление с.

4 Введение в численные методы анализа и линейной алгебры. http://www.gasu.ru/resour/eposobia/metody/posob.html 3

Разностные схемы решения ОДУ первого порядка 4

Схемы Эйлера 4

Явная схема 4

Неявная схема 5

Схема трапеций 5

Метод оценки устойчивости разностных схем 5

Схемы на основе аналитического решения (аналитико-разностные схемы). 5

Схема при постоянном воздействии (схема B=const). 6

Схема при линейном воздействии (схема B=a+bt). 6

Схема Рунге-Кутта четвертого порядка (решение уравнения 2.2). 6

Оценка погрешности разностных схем 7

Проекционно-сеточный метод. 8

Решение обыкновенного дифференциального уравнения 1^го порядка: 9

Решение обыкновенного дифференциального уравнения 2^го порядка: 10

Литнература

1. Белашов В.Ю., Чернова Н.М. Эффективные алгоритмы и программы вы­чис­ли­тель­ной математики. http://allmath.ru/appliedmath.htm

2. Белевич М.Ю. Математические моделирование гидрометеорологических процессов. Основные вычислительные идеи и методы. http://pages.rshu.ru/mamop/

3. Бельский А.А. Лекции по вычислительной математике. http://belsky.narod.ru/v2/download/mathemat/courses/compmath/

4. Введение в численные методы анализа и линейной алгебры. Http://www.Gasu.Ru/resour/eposobia/metody/posob.Html

5. Громов Ю.Ю., Татаренко С.И. Введение в методы численного анализа. http://www.is.tstu.ru/is/lang/Numerikal_methods/Oblojka.htm

6. Самарский А.А. Введение в численные методы. М.: Наука, 1982.

7. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. -М.:Наука,1989.-432с.

8. Численные методы. http://www.bspu.secna.ru/~pvv/mathpage/index.html

Разностные схемы решения оду первого порядка

Для иллюстрации подходов рассматривается решение уравнение (2.1)

(2.1)

Часто уравнение (2.1) представляют в форме Коши (2.2)

(2.2)

Д ля организации численного решения (2.1) или (2.2) в области интегрирования (область в которой ищется решение) организуется сетка (Рис.2.1), в узлах которой определяются значения искомой величины (y) т.е. ищется сеточное решение. Узлы сетки располагаются в области интегрирования с шагом Δx. Чаще всего шаг сетки Δx постоянен. В некоторых случаях, согласуясь с характером изменения y или f , величину шага принимают переменной: меньшей при интенсивном изменении y или f, и большей при малых изменениях y или f.

Решение ищется в узлах сетки 2, 3, 4 … i… n. В узле с индексом i=1 задается начальное условие.

Схемы Эйлера

Во всех схемах Эйлера применяется одинаковая разностная аппроксимация первой производной:

Остальные члены уравнений (1.1) или (1.2) можно представить в разностных схемах, относя значения y и f(x) к началу, концу или середине интервала (шага) Δx.

Явная схема

(2.3)

Неявная схема

(2.4)

Схема трапеций

(2.5)

Метод оценки устойчивости разностных схем

Рассмотренные схемы обладают разной степенью устойчивости. Для оценки абсолютной устойчивости схем предлагается простой способ.

В узел i-1 дополнительно к решению задается возмущение Δ1, а в узле i фиксируется реакция Δ2. Для явной схемы Эйлера можно записать (2.6).

(2.6)

Вычитая почленно уравнение b из уравнения a, получим выражение для относительного значения реакции ε= Δ2/ Δ1. Для явной схемы Эйлера:

(2.7)

На n^ом шаге от узла, где задано возмущение, (если значения A, k и Δx остаются неизменными) относительная реакция составляет εⁿ= Δ2_n/ Δ1. Для обеспечения абсолютной устойчивости разностной схемы необходимо, чтобы при n   выполнялось εⁿ <1. А это возможно, если выполняется условие (2.8).

0 < ε < 1 (2.8)

Д ля рассмотренных разностных схем на рис.2.2 приведены графики зависимости значения ε от величины Δx/A. Видно, что неявная схема всегда устойчива, а схемы явная и трапеций имеют ограничения на величину шага:

• явная схема Δx/A < 1;

• схема трапеций Δx/A < 2.

Аналогичным образом можно оценить устойчивость различных разностных схем.