Итерационные методы решения систем алгебраических уравнений.
Сущность итерационных методов (методов последовательных приближений) заключается в последовательном уточнении значений искомых переменных, которые в начале вычислений задаются приблизительно (в первом приближении). Причём на каждой последующей итерации (уточнении) для определения уточнённого значения переменных используются их значения, полученное на предыдущей итерации. Такие вычисления проводятся до тех пор, пока изменение значения переменной на двух соседних итерациях не станет меньше установленной ранее величины (итерационного допуска).
Итерационные методы используются для решения СЛАУ высоких порядков и сильно разреженных матриц. Они отличаются устойчивостью к случайным ошибкам, возникающим при счете и к ошибкам округления. Кроме того, они легко трансформируются для решения систем нелинейных уравнений.
Итерационные методы применяются к системам уравнений (3/12), предварительно преобразованным в форму
i = 1,2,3,...n . (1.13)
Итерации продолжаются до тех пор, пока для каждого неизвестного не выполнится условие
,
(1.14)
где
-
абсолютный итерационный допуск, m
- номер итерации.
По способу организации итерационного уточнения значений искомых величин различают метод простых итераций (метод Якоби) и метод Зейделя.(Гаусса-Зейделя).
Метод простых итераций. В этом
методе для вычисления на данной итерации
значений каждой из искомых величин
используются значения, взятые только
по результатам предыдущей итерации
.
В этом случае счетная формула приобретает
вид:
i = 1,2,3,...n (1.15)
Метод Зейделя. В методе Зейделя для вычисления на данной итерации значений каждой из искомых величин используются как значения взятые по результатам предыдущей итерации, так и уже уточненные в процессе данной итерации.
Расчет ведется по формуле
i = 1,2,3,...n (1.16)
Для абсолютной сходимости итерационных методов необходимо, чтобы значение каждого из диагональных элементов матрицы СЛАУ были преобладающими по абсолютной величине по сравнению с другими элементами строки. Условие сходимости можно обеспечить преобразованием исходной матрицы путем перестановки уравнений и неизвестных. При использовании любого итерационного метода итерационный процесс завершается, когда выполняются условия (1.14) для всех искомых значений.
Методы простых итераций и Зейделя имеют разные области сходимости. В ряде случаев метод Зейделя обеспечивает более быструю сходимость итерационного процесса, нежели метод простых итераций.
Следует отметить, что величина абсолютного итерационного допуска ε не является погрешностью решения, но ее величина близка к достигаемой точности решения.
Контроль полученных решений можно провести путем подстановки их результатов в исходную СЛАУ и вычисления невязок s (разностей между правыми и левыми частями уравнений).
Невязка каждой i-ой строки определятся как
(1.17)