Полиномиальная интерполяция в области определения функции.

Перспективным представляется использование единой интерполирующей функции во всей области определения табулированной функции. Чаще всего используется полиномиальная интерполяция. В этом случае для описания зависимости у = f (x) используется алгебраический многочлен (полином). Известно, что для любого набора точек (x_i, y_i) i=1,2,3…n существует единственный интерполяционный многочлен степени n-1

, (1.4)

который проходит через все узлы интерполяции, т. е.

Для нахождения коэффициентов а₀, а₁, а₂,…а_n-1 необходимо решить систему состоящую из n линейных алгебраических уравнений вида:

. (1.5)

Следует отметить, что значение порядка полинома на единицу меньше количества заданных точек.

При использовании полиномов высоких степеней для интерполяции ряда функций возможны существенные расхождения интерполяционного и действительного значений функции в некоторых областях значений аргумента (между узлами интерполяции). В таких случаях следует использовать аппроксимацию заданного набора точек полиномом невысокого порядка.

Аппроксимация

Приближенное выражение математических объектов через другие, более простые называют аппроксимацией.

Аппроксимация табулированной функции полиномом.

В рассматриваемом случае функциональную зависимость y=f(x) заданную таблично (табулированную) приближенно отражают (аппроксимируют) полиномом, проходящим возможно ближе к точкам с координатами (x_i, y_i), но не требуют совпадения значений искомого полинома и табулированной функции в точках (x_i, y_i). При подобной аппроксимации чаще всего используется метод наименьших квадратов.

Рассмотрим в качестве аппроксимирующей функции полином степени k

(1.6)

Будем минимизировать сумму квадратов рассогласований s значений заданной и аппроксимирующей функций во всех n точках (x_i, y_i)

. (1.7)

Согласно теории необходимым условием минимума функции s является равенство нулю ее частных производных:

. (1.8)

Развернув (1.8) получаем систему уравнений для определения a₀, a₁, a₂,…,a_k

(1.9)

которая приводится к системе линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) с матрицей Грамма вида:

(1.10)

Таким образом, для определения коэффициентов как интерполирующего, так и аппроксимирующего полиномов необходимо решить систему линейных алгебраических уравнений. Следует отметить, что многие математические модели тем или иным способом приводятся к СЛАУ и для пользователя ПЭВМ полезно ознакомиться с основными методами решения СЛАУ.

Решение систем линейных алгебраических уравнений

Пусть А - квадратная матрица порядка п и b – вектор правых частей, состоящий из п компонент. Задача состоит в решении системы п уравнений:

Ах=b. (1.11)

Если матрица А обратима, единственное решение (вектор х) можно получить с помощью правила Крамера. С точки зрения численного решения ситуация более сложная: прямое применение правила Крамера требует очень большого числа операций и, кроме того, возникают проблемы переноса ошибок округления. Специально для численного решения задачи разработаны эффективные алгоритмы, которые учитывают особенности матрицы А (ее ленточную или клеточную структуру) и делятся на два класса - прямые и итерационные методы.