Некоторые часто используемые численные методы
В практике решения прикладных задач используется большое количество различных численных методов. Сущность большинства методов и их программная реализация подробно освещается в доступной литературе.
Ниже рассматриваются наиболее употребительные методы приближенных вычислений являющихся универсальными и применяющимися для решения задач из многих предметных областей. Целью данного раздела является не столько подробное рассмотрение численных методов, сколько изучение способов обращения к предопределенным процедурам, описывающим вычисления в соответствии с рассмотренными методами. Поэтому ряд особенностей численных методов не освещается.
Интерполяция
Многие зависимости, используемые при решении прикладных задач, представляются в табулированном виде (таблицами). В таких таблицах непрерывная зависимость функции y=f(x) от аргумента x представляется рядом пар значений x и y, отражающих ряд точек на линии y=f(x). При использовании таблиц часто возникает необходимость в определении приближенного значения y на интервалах расположенных между оговоренными точками. Другими словами решается задача нахождение значений функции для тех значений аргумента, которые находятся между значениями, имеющимися в таблице. Такой процесс называют интерполяцией.
Например, интерполируемая функция y=f(x) представлена в таблице набором пар значений x и y заданных в узлах интерполяции, и необходимо приближенно определить значение функции y* для заданного значения аргумента x*.
Аргумент - x |
x1 |
x2 |
x3 |
|
xi-1 |
xi |
xi+1 |
|
xn-1 |
xn |
Функция - y |
y1 |
y2 |
y3 |
|
yi-1 |
yi |
yi+1 |
|
yn-1 |
yn |
Линейная интерполяция на отрезке.
Суть линейной интерполяции заключается в замене данной функции y=f(x) на отрезке [xi, xi+1] линейной функцией. При этом xi<x*<xi+1.
.
(1.1)
Процесс интерполяции осуществляется в следующей последовательности: сначала определяется интервал [xi, xi+1] внутри которого располагается заданное значение аргумента x*, а затем производится расчет по формуле (1.1). Величина y* определяется с некоторой погрешностью которая тем больше чем выше значение второй производной интерполируемой функции и чем реже расположены узлы интерполяции. Когда используемые в практических расчетах функции достаточно гладкие можно достичь приемлемого уровня погрешности линейной интерполяции. Погрешность интерполяции можно снизить, увеличив количество узлов интерполяции.
Квадратичная интерполяция на отрезке.
При квадратичной интерполяции предполагается, что заданная функциональная зависимость у=f (х) заменяется квадратной функцией у* = а(х*)2 + bx* + с на отрезке [xi, xi+2] при условии xi<x*<xi+2. Для нахождения коэффициентов а, b, с решают систему линейных уравнений:
(1.2)
Откуда получаем:
(1.3)
Определив а, b, с, тем самым определяют функцию у = ax2 + bх + + с, а по ней вычисляют промежуточное значение
y*=а(х*)2+bх*+с.
Рассмотренные способы интерполяции на отрезках области определения функции не являются единственными. Для интерполяции табулированной функции на отрезке можно использовать практически любую подходящую функцию. Сложность может возникнуть только при определении коэффициентов выбранной интерполирующей функции.
При интерполяции на отрезках для каждого отрезка устанавливаются свои коэффициенты интерполирующей функции. Т.е. тип функции для всех отрезков одинаков, но коэффициенты функции разные.