2.5 Аппроксимация табулированной функции двух аргументов

Основные методы аппроксимации функции двух аргументов рассмотрим на примере получения расчетной формулы отражающей характеристику центробежного вентилятора представленную в таблице и графически на рис. 2.12.

С ледует отметить, что данные для построения характеристики вентилятора получены экспериментальным путем и могут содержать погрешности эксперимента и последующей обработки (округление, сглаживание и пр.).

Для простоты изложения основ методики аппроксимация характеристики вентилятора будет проводиться только для значений чисел оборотов n=1,4; 1,8; 2,2 тыс.об/мин. В реальных расчетах следует использовать максимальное количество исходных данных.

Метод наименьших квадратов

Прежде всего, выбирается вид аппроксимирующей формулы. В данном случае, на основе литературных источников, можно для аппроксимации характеристики центробежного вентилятора использовать формулу:

(2.6)

где Р – напор развиваемый вентилятором, кПа;

Q – производительность вентилятора, тыс.м³/ч;

n – число оборотов колеса вентилятора, тыс.об/мин;

a, b, c, k1, k2 – параметры (коэффициенты) аппроксимирующей формулы.

Возможная форма расчетной таблицы представлена на рис.2.13, где Р – значение давления снятое с характеристики вентилятора, Ра – полученное по формуле (2.6).

В ячейки N2:N6 записываются значения коэффициентов аппроксимирующей формулы принятые в первом приближении. В ячейке N9 записывается формула для расчета суммы квадратов невязок  =СУММ(F2:F16;L2:L13).

Затем включается надстройка «Поиск решения». В диалоговом окне Поиск решения указывается целевая ячейка - N9. Устанавливается переключатель Равной в положение Минимальному значению. В окне Изменяя ячейки указываются имена ячеек, значения в которых будут варьироваться для достижения минимума величины δ - N2:N6. Затем нажимается кнопка Выполнить.

Следует отметить, что при задании (в первом приближении) значений коэффициентов аппроксимирующей формулы возможен выход на локальный минимум δ. Поэтому рекомендуется при минимизации δ проводить несколько расчетов, варьируя значения первого приближения.

П оследовательное использование полиномиальной аппроксимации

Предлагаемый подход особенно удобен, когда кривые, отражающие зависимость функции от значений одного из аргументов имеют похожий вид и достаточно хорошо отражаются полиномами невысоких степеней. В рассматриваемом случае это Р=f(Q). Поэтому можно для аппроксимации использовать формулу:

(2.7)

где A(n), B(n), C(n), D(n) – коэффициенты аппроксимирующей формулы – функции второго аргумента.

Н а первом этапе (рис. 2.14) строятся точечные диаграммы зависимости Р=f(Q) для значений второго аргумента n=1,4; 1,8; 2,2 тыс.об/мин. Затем строятся линии тренда (полиномы третьего порядка). Порядок полинома подбирают из условия максимальной близости оценки R² к 1. Коэффициенты уравнений линии тренда заносятся в таблицу.

Н а втором этапе (рис.2.15) по данным таблицы строится точечная диаграмма, отражающая зависимость величин A, B, C, D от n. Уравнения линии тренда позволяют определить:

A(n) =1,7421-0,7515Q+0,.6538Q²,

B(n) =-2,0639+2,7977Q-0,3894Q²,

C(n) =0,2588-0,4305Q+0,1013Q²,

D(n) =-0,0081+0,0155Q-0,0044Q²

Не обязательно (но удобно) для аппроксимации зависимостей A(n)  D(n) использовать полиномы одной и тойже степени.

Выбор порядка аппроксимиру- ющих полиномов следует проводить по оценке R².