2.2 Интерполяция
Многие зависимости, используемые при решении прикладных задач, представляются в табулированном виде (таблицами). В таких таблицах непрерывная зависимость функции y=f(x) от аргумента x представляется рядом пар значений x и y, отражающих ряд точек на линии y=f(x). При использовании таблиц часто возникает необходимость в определении приближенного значения y на интервалах расположенных между оговоренными точками. Другими словами решается задача нахождение значений функции для тех значений аргумента, которые находятся между значениями, имеющимися в таблице. Такой процесс называют интерполяцией.
Например, интерполируемая функция y=f(x) представлена в таблице набором пар значений xi и yi заданных в узлах интерполяции, и необходимо приближенно определить значение функции y* для заданного значения аргумента x*.
Аргумент - x |
x1 |
x2 |
x3 |
|
xi-1 |
xi |
xi+1 |
|
xn-1 |
xn |
Функция - y |
y1 |
y2 |
y3 |
|
yi-1 |
yi |
yi+1 |
|
yn-1 |
yn |
Кусочно-линейная интерполяция функции одного аргумента
Суть линейной интерполяции заключается в замене данной функции y=f(x) на отрезке [xi, xi+1] линейной функцией. При этом xi<x*<xi+1.
.
(2.3)
Процесс интерполяции осуществляется в следующей последовательности: сначала определяется интервал [xi, xi+1] внутри которого располагается заданное значение аргумента x*, а затем производится расчет по формуле (2.3). Величина y* определяется с некоторой погрешностью, которая тем больше, чем выше значение второй производной интерполируемой функции и чем реже расположены узлы интерполяции. Когда используемые в практических расчетах функции достаточно гладкие, можно достичь приемлемого уровня погрешности линейной интерполяции. Погрешность интерполяции можно снизить, увеличив количество узлов интерполяции.
Рассмотрим наиболее простой способ линейной интерполяции табулированной функции одной переменной.
В ячейках А4:С8 представлена табулированная функция Yi=f(Xi). В ячейку В2 записывается значение Х для которого необходимо определить Y. В ячейку С2 записывается формула:
=ЕСЛИ(B2<B5;(C5-C4)/(B5-B4)*(B2-B4)+C4;ЕСЛИ(B2<B6;(C6-C5)/(B6-B5)*(B2-B5)+C5;ЕСЛИ(B2<B7;(C7-C6)/(B7-B6)*(B2-B6)+C6;(C8-C7)/(B8-B7)*(B2-B7)+C7)))
С
помощью функции ЕСЛИ выбирается интервал,
в который попадает значение X,
а затем производится расчет по формуле
(2.3).
Приведенный подход громоздок и, кроме того, существует ограничение на степень вложенности функций (не более 7).
Более эффективна реализация кусочно-линейной интерполяции с помощью функций ПОИСКПОЗ и ИНДЕКС.
Функция ПОИСКПОЗ - возвращает относительное положение элемента массива (позиция элемента в диапазоне ячеек).
Синтаксис:
ПОИСКПОЗ(Искомое_значение; просматриваемый_массив; тип_сопоставления)
где:
Искомое_значение — это значение, используемое при поиске значения в таблице.
Просматриваемый_массив - это непрерывный интервал ячеек, возможно, содержащих искомые значения.
Тип_сопоставления - это число -1, 0 или 1. Тип_сопоставления указывает, как Microsoft Excel сопоставляет искомое_значение со значениями в аргументе выделенный_массив.
Если тип_сопоставления равен 1, то функция ПОИСКПОЗ находит позицию наибольшего значения, которое равно или меньше, чем искомое_значение. Выделенный_массив должен быть упорядочен по возрастанию: -2, -1, 0, 1, 2.
Если тип_сопоставления равен 0, то функция ПОИСКПОЗ находит позицию первого значения, которое в точности равно аргументу искомое_значение. Выделенный_массив может быть упорядочен в любом порядке.
Если тип_сопоставления равен -1, то функция ПОИСКПОЗ находит позицию наименьшего значения, которое равно и больше чем искомое_значение. Выделенный_массив должен быть упорядочен по убыванию: 2, 1, 0, -1, -2, ..., и так далее.
Если тип_сопоставления опущен, то предполагается, что он равен 1.
Замечание. Если функция ПОИСКПОЗ не находит соответствующего значения, то возвращается значение ошибки #Н/Д.
Функция ИНДЕКС - возвращает значение или ссылку на значение из таблицы или интервала. Функция ИНДЕКС() имеет две синтаксические формы: ссылка и массив. Ссылочная форма всегда возвращает ссылку; форма массива всегда возвращает значение или массив значений.
Синтаксис:
ИНДЕКС(массив;номер_строки; номер_столбца) - возвращает значение указанной ячейки или массив значений в аргументе массив.
И
НДЕКС(ссылка;
номер_строки; номер_столбца; номер_области)
- возвращает ссылку на указанную ячейку
или ячейки в аргументе ссылка.
В примере (Рис 2.6) функция ПОИСКПОЗ (в ячейке Е1) используется для определения индекса i-1. Для предотвращения выхода за верхнюю границу значений Х в ячейке Е5 используется функция ЕСЛИ.