2.1 Ковариационный и корреляционный анализ

Ковариационный анализ. Ковариация является мерой связи между двумя наборами (выборками) данных. Ковариационный анализ дает возможность установить, ассоциированы ли наборы данных по величине, то есть, большие значения из одного набора данных соответствуют большим значениями другого набора (положительная ковариация), или, наоборот, меньшие значения одного набора соответствуют большим значениями другого (отрицательная ковариация), или данные двух диапазонов никак не связаны (ковариация близка к нулю).

Формула для расчета коэффициента ковариации:

(2.1)

где x_i, y_i - соответствующие значения элементов выборок, x_ср, y_ср – средние значения по выборкам, n – количество элементов в выборке.

Вычисления ковариации для отдельной пары данных производятся с помощью статистической функции КОВАР.

Коэффициент ковариации является размерной величиной, что затрудняет анализ при сравнении различных наборов данных. Для удобства проведения сравнительного анализа чаще используется коэффициент корреляции.

Корреляционный анализ используется для количественной оценки (представленной в безразмерном виде) взаимосвязи двух наборов данных. Коэффициент корреляции ρ_x,y выборки представляет собой ковариацию двух наборов данных, деленную на произведение их стандартных отклонений.

(2.2)

Коэффициент корреляции является безразмерной величиной, которая дает возможность установить насколько ассоциированы наборы данных по величине, то есть, большие значения из одного набора данных связаны с большими значениями другого набора (ρ_x,y > 0), или, наоборот, малые значения одного набора связаны с большими значениями другого (ρ_x,y < 0), или данные двух диапазонов никак не связаны (ρ_x,y  0).

Для проведения корреляционного анализа в среде EXCEL необходимо подготовить наборы данных, расположив их по столбцам или строкам – подготовить входной диапазон данных. Желательно чтобы каждый столбец или строка имели имена.

Необходимо убедиться, что в меню Сервис содержится пункт меню Анализ данных, если он отсутствует необходимо установить надстройку “Анализ данных”.

У становка надстройки «Анализ данных».

При выборе команды Надстройки из меню Сервис появляется диалоговое окно «Надстройки»;

• в поле окна Список надстроек выберите пункт Пакет анализа. Слева от названия пункта в маленьком окошке (флаг) должен стоять символ .

• Если он отсутствует, щелкните на флаге и пакет анализа установлен;

• для выхода из окна Надстройки нажмите кнопку ОК.

Вызов пакета анализа.

При выборе команды Анализ данных из меню Сервис появляется диалоговое окно Анализ данных:

• в списке окна Инструменты анализа необходимо выбрать пункт Корреляция;

• для запуска пункта Корреляция нажать ОК и появится диалоговое окно Корреляция (Рис. 2.2)

Параметры диалогового окна «Корреляция»:

• В ходной интервал. Введите ссылку на ячейки, содержащие анализируемые данные. Ссылка должна состоять как минимум из двух смежных диапазонов данных, организованных в виде столбцов или строк.

• Группирование. Установите переключатель в положение По столбцам или По строкам в зависимости от расположения данных во входном диапазоне.

• Метки в первой строке/Метки в первом столбце. Установите переключатель в положение Метки в первой строке, если первая строка во входном диапазоне содержит названия столбцов. Установите переключатель в положение Метки в первом столбце, если названия строк находятся в первом столбце входного диапазона. Если входной диапазон не содержит меток, то необходимые заголовки в выходном диапазоне будут созданы автоматически.

• Выходной интервал. Введите ссылку на левую верхнюю ячейку выходного диапазона. Поскольку коэффициент корреляции двух наборов данных не зависит от последовательности их обработки, то выходная область занимает только половину предназначенного для нее места. Ячейки выходного диапазона, имеющие совпадающие координаты строк и столбцов, содержат значение 1, так как каждая строка или столбец во входном диапазоне полностью коррелирует с самим собой.

• Новый лист. Установите переключатель, чтобы открыть новый лист в книге и вставить результаты анализа, начиная с ячейки A1. Если в этом есть необходимость, введите имя нового листа в поле, расположенном напротив соответствующего положения переключателя.

• Новая книга. Установите переключатель, чтобы открыть новую книгу и вставить результаты анализа в ячейку A1 на первом листе в этой книге.

Примечание. Для вычисления коэффициента корреляции между двумя наборами данных на листе используется статистическая функция КОРРЕЛ.

В электронной таблице на рисунке 2.3, представлены четыре набора данных, полученных опытным путем i, X(i), Y(i), Z(i). Требуется установить, существует ли какая либо связь между этими величинами. Построенная точечная диаграмма не позволяет ответить на этот вопрос.

Д ля проведения корреляционного анализа в нижней части таблицы выделяем для выходного интервала квадратную область nn ячеек (n = число наборов данных + 1). Устанавливаем в диалоговом окне Корреляция (Рис.2.2) переключатель Параметры выхода в положение Выходной интервал и указываем координаты выходного интервала в окошке. Кроме того, устанавливаем переключатель Группирование в положение По столбцам и флажок в окошке Метки в первой строке.

После нажатия OK получаем значения коэффициентов корреляции. Чем больше (по абсолютному значению) величина коэффициента корреляции, тем сильнее связь между величинами.

Следует отметить, что корреляционный анализ дает хорошие результаты в случае монотонных функций. Если функция не монотонная, то коэффициент корреляции может быть малым по абсолютному значению, в то время как между наборами данных несомненно существует однозначная функциональная связь.

Следующий пример иллюстрирует результаты корреляционного анализа для монотонной (Y1) и немонотонной (Y2) функций.

И сходные данные
i	X	Y1	Y2
1	0,694	0,458	0,820
2	0,020	0,000	0,063
3	0,856	0,696	0,438
4	0,467	0,207	0,994
5	0,904	0,777	0,298
6	0,152	0,022	0,458
7	0,215	0,044	0,626
8	0,049	0,002	0,153
9	0,836	0,664	0,494
10	0,742	0,523	0,725
11	0,776	0,572	0,648
12	0,312	0,093	0,831
13	0,500	0,238	1,000
14	0,415	0,164	0,964
15	0,265	0,067	0,740			Результаты корреляционного анализа
16	0,112	0,012	0,344				i	X	Y1	Y2
17	0,561	0,299	0,982			i	1
18	0,175	0,029	0,523			X	-0,00066	1
19	0,932	0,825	0,213			Y1	-0,05756	0,972183	1
20	0,642	0,392	0,902			Y2	0,23662	0,162089	-0,07318	1
Рис. 2.4 Результаты корреляционного анализа.

В данном случае зафиксирована несомненная связь между величинами X и Y1, так как значение коэффициента корреляции на пересечении строки Y1 и столбца X близко (по абсолютному значению) к 1.

Однако не отмечена заметная корреляция между величинами X и Y2 (значение коэффициента корреляции на пересечении строки Y1 и столбца X мало - 0,162) в то время как график на рис. 2.4 указывает на существование функциональной зависимости Y2=f(X).