Решение однородных систем методом Гаусса

Однородная система всегда совместна, так как она всегда имеет нулевое решение x₁ = x₂ = … = x_n = 0. Для нее справедливо, что .

Теорема Кронекера-Капелли для однородной системы: 1) если , то система имеет единственное решение – нулевое, 2) если , то система имеет бесконечное множество решений, среди которых есть и ненулевые.

Определение 3. Линейно независимая совокупность решений однородной системы называется фундаментальной системой решений, если каждое решение является линейной комбинацией остальных.

Идея метода Гаусса: матрица системы приводится к трапециевидной или к треугольной форме, затем все получившиеся базисные переменные выражаются через свободные переменные и находится фундаментальное решение системы.

Пример. Решить систему линейных уравнений: .

Решение. Запишем матрицу системы: ,

отсюда т.к. три ненулевые строки. Количество неизвестных n = 4, т.е. , следовательно, по теореме Кронекера - Капелли система имеет бесконечное множество решений. Найдем его. Запишем полученную матрицу в виде системы уравнений:

. Система имеет три базисные неизвестные: х₁, х₂, х₃ и одну свободную х₄. Выразим базисные неизвестные через свободную переменную, начиная с последнего уравнения:

,

,

.

Ответ: Фундаментальная система решений: .

Решение неоднородных систем методом Гаусса

Пример 1. Решить систему уравнений: .

Решение.

.

Проверим условия теоремы Кронекера-Капелли: , следовательно, система имеет единственное решение. Найдем его. Запишем полученную матрицу в виде системы уравнений:

. Отсюда .

Ответ: {(1, 3, 5)}.

Пример 2. Решить систему уравнений: .

Решение.

. Проверим условия теоремы Кронекера-Капелли: то есть, , следовательно, система не имеет решений.

Ответ: .

Пп. 2. Метод Крамера

(для решения неоднородных систем, когда )

Замечание. Метод применяется (редко) для решения и однородных систем, в случае, когда . Будет рассмотрено в замечании к теореме Крамера.

Теорема Крамера.

Рассмотрим неоднородную систему n линейных уравнений с n неизвестными . Если определитель матрицы системы отличен от нуля, то система имеет единственное решение, которое находится по формулам: , , …, , где – определитель матрицы системы, – определитель, полученный из определителя заменой i –того столбца столбцом свободных членов, i = 1, 2,…, n.

Доказательство.

Докажем для случая системы из 3 линейных уравнений с 3 неизвестными. В этом случае формулы Крамера имеют вид:

, , .

Выведем первую формулу для х₁.

(умножим каждую строку на алгебраические дополнения).

Сложим все уравнения, при этом переменные х₁, х₂, х₃ вынесем за скобку:

.

По лемме 2 п.5 (сумма произведений элементов какой-либо строки определителя на алгебраические дополнения к элементам другой строки равна нулю) можем записать, что

.

Из формулы метода понижения порядка в определителе (сумма произведений элементов какой-либо строки определителя на алгебраические дополнения к элементам этой же строки равна определителю), следует, что

, – разложение по первому столбцу определителя матрицы системы, в котором в первом столбце стоят свободные члены, т.е.

, отсюда . Аналогично доказываются формулы для х₂ и х₃. (что и треб. док-ть)

Замечания.

Замечание 1) Если определитель матрицы неоднородной системы , но и все , то система имеет бесконечное множество решений, которые находятся по формулам: , где В_i – алгебраические дополнения к элементам той строки, где стоит элемент, минор которого отличен от нуля.

Если , но при этом хотя бы один из , то система не имеет решений.

Замечание 2) Метод Крамера можно применить и для решения однородных систем линейных уравнений, когда .

Если , но хотя бы один из его миноров отличен от нуля, то система имеет бесконечное множество решений, которые находятся по формулам: , где В_i – алгебраические дополнения к элементам той строки, где стоит элемент, минор которого отличен от нуля.

Если и все его миноры равны нулю, то система сводится к одному уравнению и имеет бесконечное множество решений.

Если , то система имеет единственное решение - нулевое.

Пример 1. Решить систему уравнений: .

Решение. Найдем определитель матрицы системы: , следовательно, система имеет единственное решение.

Найдем определители :

, , .

Найдем решение системы по формулам Крамера:

, , .

Ответ: {(1, 3, 5)}.

Пример 2. Решить систему уравнений: .

Решение. Данная однородная система имеет 3 уравнения с тремя неизвестными. Для нахождения решения применим замечание 2 к теореме Крамера.

Найдем определитель матрицы системы: , следовательно, система имеет единственное решение - нулевое.

Ответ: {(0, 0, 0)}.