7

§ 2. Системы линейных уравнений. П. 1. Основные понятия.

Определение 1. Система уравнений вида называется системой m линейных уравнений с n неизвестными х₁, х₂, …, х_n.

Если все b_i = 0 ( i = 1, 2, 3,…, m), то система называется однородной, в противном случае неоднородной.

Матрица, состоящая из коэффициентов при неизвестных, называется матрицей системы. Матрица, состоящая из коэффициентов при неизвестных и столбца свободных членов, называется расширенной матрицей системы.

– матрица системы, – расширенная матрица системы,

– столбец свободных членов, – столбец неизвестных.

Матричная запись системы линейных уравнений имеет вид: .

Определение 2. Система уравнений, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной. Система, не имеющая решений, несовместной.

Элементарные преобразования системы (только над строками):

1. перестановка уравнений,

2. умножение уравнения на число, отличное от нуля,

3. прибавление к уравнению другого уравнения, умноженного на число.

Выполняют элементарные преобразования над расширенной матрицей системы и лишь над строками, так как перестановка столбцов соответствует переобозначению неизвестных.

Теорема Кронекера – Капелли.

Для того чтобы система m линейных уравнений с n неизвестными была совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы системы был равен рангу расширенной матрицы. При этом 1) если , то система имеет единственное решение, 2) если , то система имеет бесконечное множество решений. (без доказательства)

Пример 1. Определить, сколько решений имеет система .

Решение. Найдем ранги матрицы системы и расширенной матрицы системы.

две ненулевые строки 2. Если закрыть столбец свободных членов, то получим матрицу системы, которая так же имеет две ненулевые строки, следовательно, Число неизвестных – два: x, y. Получили, что , следовательно, система имеет единственное решение.

Пример 2. Определить, сколько решений имеет система уравнений .

Решение. Найдем ранги матрицы системы и расширенной матрицы системы.

две ненулевые строки 2. Если закрыть столбец свободных членов, то получим матрицу системы, которая имеет одну ненулевую строку, следовательно, Получили, что , следовательно, система не имеет решений.

П. 2. Методы решения систем линейных уравнений. Пп. 1. Метод Гаусса

(для решения однородных и неоднородных систем, когда )

- неоднородная, - однородная.

Идея метода – последовательное исключение неизвестных: с помощью элементарных преобразований над строками расширенная матрица системы приводится к трапециевидной или к треугольной форме, при этом удобнее, чтобы все ведущие элементы были равны 1 (алгоритм нахождения рангов), либо устанавливается, что система несовместна. Это прямой ход метода Гаусса.

Алгоритм прямого хода метода Гаусса

1. Записываем расширенную матрицу системы .

2. Переставляя строки, добиваемся, чтобы ; удобнее, чтобы и, если в первом столбце есть 1, то именно эту строку делаем первой. Первую строку назовем рабочей, элемент - ведущим.

3. Ведущий элемент рабочей строки должен быть равен 1. Если , то делим первую строку на .

4. Умножая первую строку на числа , где , и прибавляя ее соответственно ко второй и т.д. m-ой строке, получим в 1-ом столбце под нули.

5. Не трогая первой строки, путем перестановки остальных строк, добиваемся, чтобы , а лучше, если во втором столбце, кроме первой строки, есть 1, чтобы , (рабочей стала вторая строка, ведущим – элемент ).

6. Если , то делим вторую строку на , получим ведущий элемент равным 1.

7. Умножая вторую строку на числа , где , и прибавляя ее соответственно к третьей и т.д. m-ой строке, получим во 2-ом столбце под нули.

8. И так далее, пока расширенная матрица системы не приведется к трапециевидной форме. На главной диагонали полученной матрицы стоят единицы.

Например, .

9. Находим ранги матрицы-системы и расширенной матрицы системы. Проверяем условия теоремы Кронекера-Капелли. Делаем вывод о количестве решений системы: одно решение, либо бесконечное множество решений, или нет решений.

Обратный ход заключается в последовательном нахождении неизвестных. Для этого полученная трапециевидная или треугольная матрица записывается снова в виде системы уравнений, и из нее алгебраическим путем, начиная с последнего уравнения, находятся неизвестные.

В нашем примере получаем бесконечное множество решений, которые находятся из системы:

.

В случае бесконечного множества решений все переменные делятся на базисные и свободные.

Определение 3. Базисным минором называется ненулевой минор максимального порядка основной матрицы, находящийся в левом верхнем углу. Базисные переменные – это переменные, коэффициенты при которых образуют базисный минор. Остальные переменные называются свободными, т.е. это переменные, которым можно придавать произвольные действительные значения.

Количество базисных переменных равно .

Количество свободных переменных можно найти с помощью формулы: .

Все получившиеся базисные переменные (в примере х₁, х₂,…, х_n-1) выражаются через свободные (в примере х_n) и находится решение системы, либо, если все переменные являются базисными, то выражается в численном виде единственное решение системы линейных уравнений.

Эта процедура начинается с последнего уравнения, из которого выражают соответствующую базисную переменную (а она там всего одна) и подставляют в предыдущие уравнения, и так далее, поднимаясь по «ступенькам» наверх. Каждой строчке соответствует ровно одна базисная переменная, поэтому на каждом шаге, кроме последнего (самого верхнего), ситуация в точности повторяет случай последней строки.

В примере: , …, , .

Ответ примера: {( , … , ), }.

Определение 4. Базисным решением называется частное решение, получающееся из общего при нулевых значениях свободных переменных.