1.7.3. Задания для самостоятельной работы

Используя эквивалентные бесконечно малые, найти пределы и заполнить клетки:

7А15. . 7А16. .

7А17. . 7А18. .

7А19. . 7А20. .

7А21. . 7А22. .

7А23. . - 7А24. .

7Б25. . 7Б26. .

7Б27. . 7Б28. .

7БС29. При каких и функция является бесконечно малой при ?

Ответы

7А1. 3. 7А2. .7А3. . 7А4. .7А5. . 7А6. . 7А7. 3. 7А8. .7Б9. 1. 7Б10. .7Б11. . 7Б12. . 7Б13. -2 . 7Б14. .7А15. . 7А16. .

7А17. 0. 7А18. 3.7А19.4. 7А20. . 7А21. . 7А22. 9.

7А23. -3. 7А24. .7Б25. 0. 7Б26.3. 7Б27. . 7Б28. 2. 7БС29. ;

1.8. Непрерывность функции

1.8.1.Краткая теоретическая справка

Функция называется непрерывной в точке , если:

1) определена в точке и некоторой ее окрестности;

2)

Если функция определена в окрестности точки и (аналогично ), то функция называется непрерывной в точке слева (соответственно справа).

Таким образом, функция непрерывна в точке , тогда и только тогда, когда она непрерывна в ней слева и справа.

Отсюда получаем удобный на практике критерий (условия) непрерывности:

непрерывна при в том и только том случае, если

1) функция определена в точке ;

2) односторонние пределы функции в точке

существуют;

3) равны между собой и равны значению функции в этой точке:

Функция называется непрерывной на отрезке , если она непрерывна в каждой точке интервала (а,b) в точке a непрерывна справа, а в точке b непрерывна слева.

Свойства функций, непрерывных на отрезке:

1) основные элементарные функции непрерывны в области их определения;

2) элементарные функции непрерывны на каждом из интервалов, целиком лежащих в области определения;

Если для функции , определенной в некоторой проколотой окрестности точки не выполняется хотя бы одно из трех условий критерия непрерывности, то точка называется точкой разрыва функции.

Точки разрыва функции классифицируются следующим образом.

Точка называется точкой:

1) устранимого разрыва функции , если в этой точке существуют односторонние конечные пределы и , они равны между собой: , но сама функция не определена в точке , или определена, но ее значение не равно односторонним пределам: (рис.4).

2) конечного разрыва (скачка) функции , если в этой точке существуют конечные односторонние пределы и , но они не равны между собой: (рис.5 точка ).

3) бесконечного разрыва (скачка) функции , если в этой точке хотя бы один из односторонних пределов (рис.6 точка )

Если в точке устранимого разрыва функцию доопределить или значение сделать равным односторонним пределам, то функция в этой точке станет непрерывной.

Точки устранимого и конечного разрывов называют точками разрыва I рода.

Функция, которая на любом конечном интервале имеет конечное число размывов I рода, называется кусочно-непрерывной (на этом интервале).

Если хотя бы один из односторонних пределов или ) не существует или равен бесконечности, то точки разрыва называют точками разрыва II рода.