1.3.2. Задания для аудиторной работы пределы последовательности

3А1. Построить график функции . Найти значения функции при . Нанести эти значения на график. К чему стремятся значения функции при ? Записать этот факт с помощью символики. Привести пример последовательности значений х стремящейся к 5.

3А2. Найти значения функции при . Нанести эти значения на график. К чему стремятся значения функции при слева от точки 0 и справа от точки 0? Записать этот факт с помощью символики.

3А+Б3. По виду графика записать пределы в соответствующих точках

Найти пределы функций:

3А4. . 3А5. .

3А6. . 3А7. .

3А8. . 3А9. .

Заполнить клетки:

3А10. . 3А+Б11. .

3Б12. Найти а) ; б) и дать геометрическую иллюстрацию.

3Б13. . Представить функцию в виде суммы предела и бесконечно малой функции при .

1.3.3 Задания для самостоятельной работы

3А14. Построить график функции . Найти значения функции при . Нанести эти значения на график. К чему стремятся значения функции при ? Записать этот факт с помощью символики. Привести пример последовательности значений х стремящейся к -2.

3А15. Найти значения функции при . Нанести эти значения на график. К чему стремятся значения функции при слева от точки 3 и справа от точки 3? Записать этот факт с помощью символики.

3А+Б16. По виду графика записать пределы в соответствующих точках

Найти пределы функций:

3А17. . 3А18. .

3А19. . 3А20. .

3А21. . 3А22. .

3А23. . 3А24. .

3А25.

Заполнить клетки:

3А+Б25. . 3А+Б26. .

3Б27. Найти а) ; б) и дать геометрическую иллюстрацию.

3Б27. Представить функцию , имеющую предел при , в виде суммы предела и бесконечно малой функции при .

3С28. В круг радиуса R вписан квадрат, в который вписан новый круг, в него новый квадрат и т. Д. Пусть - площадь первого квадрата, - второго и т. д. Найти .

3С29. Будет ли бесконечно большой функция при ? Бесконечно малой при ?

Ответы

3А1. ; ; ; ; ; ;

.3А2.; ; ; ; ; ; ; ; ; .3А4. 22.

3А5. 0. 3А6. . 3А7. . 3А8. 0. 3А9.0. 3А10. Например: .

3А11. Например: .3Б12. а) ; б) . 3Б13. .

3А14. ; ; ; ; ; ;

.3А15. ; ; ;; ; ; ; ; .3А17. . 3А18.0. 3А19. . 3А20. 0. 3А21. 0. 3А22. . . 3А23.+ . 3А24. .3А25. 0. 3А+Б25. Например: . 3А+Б26. Например: .3Б27. а) + . ; б) . 3Б27. . 3С28. .

3С29. 1) нет; 2) да.

1.4.Раскрытие неопределенностей

1.4.1.Краткая теоретическая справка

Часто при подстановке в вместо x предельного значения а получаются выражения вида: и другие, которые называются неопределенностями и которые нужно ” раскрывать” специальными методами, например, учитывая характер стремления к пределу отдельных функций, составляющих (входящих) функцию .

Раскрытие некоторых видов неопределенностей.

Неопределенность вида .

1. При нахождении отношения двух многочленов и в случае следует числитель и знаменатель дроби делить на разность столько раз, пока не исчезнет неопределенность.

2.При раскрытии неопределенности в случае иррациональных выражений в числителе и (или) знаменателе следует избавится от иррациональности путем, например, умножением на соответствующее сопряженное выражение или производя замену переменных.

Неопределенность вида .

1.При нахождении предела отношения двух многочленов и при числитель и знаменатель дроби целесообразно разделить на , где  – высшая степень этих многочленов.

2. При раскрытии неопределенности в случае иррациональных выражений в числителе и знаменателе дроби выносятся старшие степени . Затем производится сокращение на .

Неопределенности вида , .

Неопределенности таких видов раскрываются в основном сведением с помощью преобразований к неопределенностям , .