1. Введение в математический анализ

1.1. Функция. Свойства и график

1. Краткая теоретическая справка

Функцией, определенной на множестве , называют отображение (закон ), по которому каждому ставится в соответствие число . Обозначают или .

Множество X называют областью определения функции f и обозначают . Множество называют множеством значений функции f. Таким образом, закон , связывает две переменные x и y. Переменную x называют аргументом или независимой переменной, y называют зависимой переменной и говорят, что y есть функция x.

Графиком функции является множество всех точек плоскости ,

для каждой из которых значение аргумента x является абсциссой, а значение функции – ординатой.

Пусть область определения функции f симметрична относительно начала отсчета. Если при этом то функция называется четной, если же то функция называется нечетной.

График четной функции симметричен относительно оси ординат, а нечетной – относительно начала координат.

Функция называется периодической, если для нее существует такое число , называемое периодом функции, что при любых из области определения функции числа и также принадлежат этой области и выполняется равенство

Функция называется возрастающей (неубывающей, убывающей, невозрастающей) на некотором множестве , если большему значению аргумента из множества А соответствует большее (не меньшее, меньшее, не большее) значение функции

Функция натурального аргумента: называется последовательностью.

2. Задания для аудиторной работы

1А1. Дана функция . Найти: .

Что можно сказать о значениях при x близких к 2 ?

1А2. Найти область определения функций:

а) ; б) .

1А3. Исследовать на четность функции:

а) ; б) ; в) .

1А4. Построить график функции

и найти участки возрастания и убывания функции.

1А+Б5. . Показать, что

1Б6. Тождественны (равны) ли функции:

а) и ; б) и ?

1Б7. Построить график периодической функции с периодом Т=2, которая на задана формулой

1.1.3 Задания для самостоятельной работы

1А8. Дана функция . Найти: .

Что можно сказать о значениях при x близких к -3 ?

1А+Б9. Дана функция . Найти: . Что можно сказать о значениях при ?

1А10. Найти область определения функций:

а) ; б) .

1Б11. Найти область определения функций:

а) ; б) .

1А12. Исследовать на четность функции:

а) ; б) ; в) .

1А13. Построить график функции

и найти участки возрастания и убывания функции.

1А+Б14. . Показать, что .

1Б15. Показать, что четная функция, а нечетная. Представить в виде суммы четной и нечетной функций.

1Б16. Тождественны ли функции:

а) и ; б) и ?

1Б17. Построить график периодической функции с периодом Т=2, которая на задана формулой

1С18. Построить графики функций:

а) ; б) .

1С19. Доказать неравенство Бернулли

Ответы

1А1. . При близких к 2 и меньших 2 значение стремится к , при близких к 2 и больших 2 значение стремится к . 1А2. а) ; б) .1А3.

а) четная; б) общего положения; в) нечетная.1А4. На участке функция убывает. На участке функция возрастает.

1А+Б5. 1Б6. а) да ; б) тождественны на полуинтервале .1Б8. . При близких к -3 и меньших -3 значение стремится к , при близких к -3 и больших -3 значение стремится к .1А+Б9. . При значение стремится к . При значение стремится к 0. 1А10. а) ; б) . 1Б11. а) ; б) . 1А12. а) нечетная ; б) ) общего положения; в) четная.1А13 На полуинтервале функция убывает. На полуинтервале функция постоянна. На интервале функция возрастает.1А+Б14. .1Б15.

. 1Б16. а)Тождественны на любом интервале не содержащем точку .б) Тождественны на полуинтервале .