1.5 Динамика твердого тела Вариант 4

1. К точке с радиус-вектором приложена сила , а к точке с радиус-вектором приложена сила . Здесь оба радиус-вектора определены относительно начала координат 0; а, b, A, В – постоянные. Найти плечо равнодействующей силы относительно точки 0.

2 . Частице массой m сообщена начальная скорость под углом a к горизонту. Траектория полета частицы лежит в плоскости XY (см. рис). Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти зависимость от времени относительно точки бросания момента импульса частицы.

3. Найти момент инерции сплошного однородного диска относительно оси, перпендикулярной плоскости диска. Ось отстоит от центра диска на расстояние а. Масса диска m, радиус R. Считать известным момент инерции тонкого кольца.

4. Тело приводится во вращение вокруг горизонтальной оси с помощью падающего груза, привязанного к шнуру, предварительно намотанному на ось. Груз массой m = 2 кг в течение t = 6 сек опускается на расстояние h = 2 м. Радиус оси г = 8 мм. Пренебрегая силой трения, определите момент инерции тела.

5. С наклонной плоскости, составляющей с горизонтом угол a = 30⁰ , скатывается диск. Длина наклонной плоскости l = 4 м . Найти ускорение центра масс диска.

1.5 Динамика твердого тела Вариант 5

1. Сила с компонентами (3, 4, 5) (Н) приложена к точке с координатами (4, 2, 3) (м). Найти момент силы относительно начала координат; модуль вектора ; момент силы M_z относительно оси Z.

2. Система имеет суммарный импульс и момент импульса относительно точки 0. Найти ее момент импульса относительно точки 0’, положение которой по отношению к точке 0 определяется радиус-вектором . В каком случае момент импульса системы частиц не будет зависеть от выбора точки 0?

3. Найти момент инерции тонкого однородного стержня с прикрепленными на его концах одинаковыми точечными грузами m₁ и m₂. Масса стержня m, его длина l. Ось вращения перпендикулярна стержню и проходит через его центр масс. Считать известным момент инерции материальной точки относительно оси.

4. Однородный цилиндр, масса которого М и радиус R, вращается вокруг горизонтальной оси под действием груза весом Р, прикрепленного к нити, намотанной на цилиндр (см. рис). Определите угол поворота j цилиндра в зависимости от времени, если при t = 0 j = 0; ускорение а груза Р.

5. Шар массой m и радиусом R движется с линейной скоростью V₀ по горизонтальной плоскости, а потом вкатывается вверх по наклонной плоскости, составляющей с горизонтом угол a. Определите высоту подъема шара.

1.5 Динамика твердого тела Вариант 6

1. Шар массой m = 10 кг и радиусом R = 20 см вращается вокруг оси, проходящей через его центр. Уравнение вращения шара имеет вид: , где B = 4 рад/c², С = -1 рад/с³. Найти закон изменения момента сил, действующих на шар. Определить момент сил в момент времени t = 2 с.

2. Система состоит из двух частиц массами m₁ и m₂. В некоторый момент времени их радиус-векторы и , а скорости – соответственно и . Найти собственный момент импульса системы в данный момент.

3. Стальная пластинка толщиной d = 10 ^-3 м имеет форму прямоугольника со сторонами а = 0,1 м и в = 0,2 м. Определите момент инерции относительно оси, проходящей через центр массы пластины параллельно меньшей стороне. Плотность стали 7,87×10³ кг/м³.

4 . На ступенчатый вал, радиусы которого 0,3 и 0,1 ж, намотаны в противоположных направлениях нити (см. рис). К концам нитей привязаны грузы массой 1 кг каждый. Момент инерции вала 0,3 кг • м². Пренебрегая силой трения, определите ускорения грузов и натяжение нитей.

5. С наклонной плоскости, составляющей с горизонтом угол 30°, скатываются диск. Длина наклонной плоскости 4 м. Пренебрегая трением, определите линейные ускорения движения центра масс диска.