1.3. Метод анализа размерностей

Рассмотрим некоторую производную механическую ФВ X, завися­щую, например, от длины l, массы т и времени t. Размерность величины X в общем случае записывается в виде

где α, β, γ - показатели размерности ФВ. Приведенная формула называется формулой размерностей.

Если α = β = γ = 0, то ФВ является безразмерной.

Физические законы не зависят от выбора единиц измерения ФВ. Поэтому размерности обеих частей формулы, выражающей рассматри­ваемый физический закон, должны быть одинаковыми.

На основе размерностей ФВ разработан метод анализа размер­ностей, позволяющий установить функциональные связи между ФВ.

Если известны величины, от которых зависит искомая ФВ у, то методом анализа размерностей можно с точностью до безразмерного множителя установить зависимость

y = f (х₁, х₂, х₃, …, х_n).

Согласно требованию равенства размерностей левой и правой частей физических уравнений можно записать

[y] = [f].

Решая это уравнение, определяют показатели размерностей, входя­щих в формулу ФВ, и окончательно вид искомой формулы.

Рассмотрим применение метода анализа размерностей на кон­кретном примере.

Пример. Требуется определить время прохождения пути S телом массой m, движущимся поступательно и прямолинейно под действием постоянной силы f.

С левой стороны будущей формулы ставим искомую величину t, а справа - заданные величины t ~S m f . Составим уравнение раз­мерностей

,

где С - постоянная.

Подставляя размерности величин, получим

Т = CL^αM^β (LMT^-2)^γ.

Требование равенства размерностей левой и правой частей формулы приводит к следующей системе уравнений для показателей размерностей:

при L α + γ = 0, при М β + γ = 0, при Т -2 γ = 1.

Решая эти уравнения, получим

, .

Переходя к исходным заданным величинам, запишем искомую формулу

t = _.

Из механики знаем, что a = f / m, S = at² / 2 ,

и _.

Следовательно, метод анализа размерностей позволил опреде­лить искомую зависимость с точностью до постоянного коэффициента .

Метод анализа размерностей применяют в случаях, когда точ­ное аналитическое решение получить сложно.

Задание 3. Методом анализа размерностей определить скорость v, с которой упадет на землю свободно падающее с ускорением свободного падения g с высоты h тело массой m.

Работа 2

МЕТОДИКИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ.

РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ ЛАБОРАТОРНЫХ

РАБОТ И ОФОРМЛЕНИЮ ОТЧЕТА

2.1. Определение результата измерений и его погрешности

Различает прямые и косвенные измерения физических величин.

При прямом измерении значение физической величины определя­ется непосредственно с помощью измерительного средства.

Косвенным измерением называют измерение, при котором искомое значение физической величины находят по аналитической зависимости через входящие в нее физические величины, определяемые прямыми измерениями.

2.1.1. Прямые измерения

Пусть необходимо определить результат прямого измерения про­извольной физической величины х.

Для повышения достоверности результата проводят несколько повторных измерений, при которых получают ряд значений х₁, х₂, …, х_n.

Результат прямого измерения физической величины записывают в виде

х = х_ср ± ∆х, р = …, n = …,

где х_ср - номинальное значение результата, определяемое как сред­нее арифметическое значение n, измерений; ∆х - полуширина дове­рительного интервала, где находится истинное значение искомой ве­личины (или абсолютная погрешность);

р - доверительная вероят­ность того, что истинное значение искомой физической величины на­ходится в интервале от (х_ср – ∆х) до (х_ср + ∆х); n - число изме­рений.

Определение результата прямого измерения физической величи­ны х и его погрешности выполняют в следующей последовательности:

I. Рассчитывают номинальное значение результата измерения

,

х_i значение отдельного i-го измерения.

2. Определяют полуширину доверительного интервала (абсолютную погрешность)

∆х = ,

где - систематическая погрешность измерения, ε - случайная погрешность измерения.

Чаще равняется систематической (постоянной) погрешности измерительного средства. Если известен класс точности к % прибора, то

,

где a_n - предел измерения прибора.

Если класс точности прибора не известен, то принимают равной цене наименьшего деления измерительного средства.

Случайная погрешность измерения

,

где t_p,n - коэффициент, учитывающий закон распределения результа­тов измерений; S_x - среднее квадратическое отклонение отдельно­го i-того измерения x_i от x_ср.

При n < 30 t_p,n является коэффициентом Стьюдента. Его значе­ния находят в зависимости от числа измерений п и принятой дове­рительной вероятности р. При инженерных расчетах достаточным является р = 0,95. В этом случае

N	2	3	5	8	10
tp,n	12,7	4,3	2,8	2,4	2,3

Из таблицы видно, что для получения более или менее приемлемого результата достаточно проводить 3-5 повторных измерений.

Среднее квадратическое отклонение отдельного измерения x_i от x_ср при n < 30 определяют по формуле

.

3. Записывают результат измерения

х = х_ср ± ∆х, р = …, n = … .

Результат читается так: истинное значение х_ист измеряемой фи­зической величины х с доверительной вероятностью р и при числе измерений n находится в интервале

(х_ср – ∆х) <х_ист < (х_ср + ∆х).

4. Относительная погрешность измерения

.

Иногда условно результат измерения х записывают в виде

х = х_ср ± δх, р = …, n = … .

Задание 1. Записать результат измерения силы тока I в цепи, если при 3-х повторных измерениях были получены значения I₁ = 90А, I₂ = 92A, I₃ = 94А. Измерения проводились амперметром на 100 А и класса точности 1,0.