§ 5.3. Отыскание минимума линейной функции
При определении минимума линейной функции Z возможны два пути: 1) полагая F = -Z, отыскать максимум F, учитывая, что Zmin = -Fmax; 2) модифицировать симплексный метод: на каждом шаге уменьшать линейную функцию за счет той неосновной переменной, которая входит в выражение линейной функции с отрицательным коэффициентом. Рассмотрим это на следующем примере:
Пример 5.2. Решить симплексным методом задачу:
Z= 18y1 + 16у2 + 5у3 + 21y4 min при ограничениях:
Решение. Введем дополнительные неотрицательные переменные y5 и y6, со знаком "минус", так как неравенства имеют вид " ". Получаем систему уравнений:
Если на первом шаге в качестве основных взять дополнительные переменные, то получим недопустимое базисное решение: (0;0;0;0;-2;-3). В данном случае удобно в качестве основных взять переменные у3 и у4 (это согласуется с правилом выбора основных переменных, сформулированным в § 5.2); так как коэффициенты при у3 и у4 положительны, получим в е первоначального допустимое базисное решение.
I шаг. Основные переменные: y3, y4. Неосновные переменные: y1, y2 y5, y6.
Выражаем основные переменные через неосновные:
Y1
= (0; 0; 3;
;
0; 0) — первое базисное
решение, оно допустимое.
Выражаем линейную
функцию через неосновные переменные:
=29
— это значение не
является минимальны так как функцию Z
можно уменьшить за счет перевода в
основные любой из переменных у1
или у2,
имеющих в выражении для Z
отрицательные коэффициенты. Так как у1
имеет больший по абсолютному значению
коэффициент, то значение этой переменной.
Для нее наибольшее возможное значение:
,
т.е. первое уравнение
является разрешающим; у3
становится неосновной переменной
.
II шаг. Основные переменные: y1, y2. Неосновные переменные: y3, y4 y5, y6.
Получим после преобразований:
-
функция цели.
При базисном решении
Y2
= (1;0;0;1/3;0;0)
получаем
.
Переменную переводим
в основные, так как в выражение для Z
она входит с отрицательным коэффициентом.
Наибольшее возможное
значение у2
= min {3;
3/5} = 3/5, второе уравнение
разрешающее, и y4
переходит в неосновные переменные;
.
III шаг. Основные переменные: y1, y2. Неосновные переменные: y3, y4 y5, y6.
Получим после преобразований:
.
Базисное решение
оптимальное,
так как в выражении для Z
нет неосновных переменных с отрицательными
коэффициентами. Поэтому
.
Сформулируем критерий оптимальности при отыскании минимума линейной функции: если в выражении линейной функции через неосновные переменные отсутствуют отрицательные коэффициенты при неосновных переменных, то решение оптимально.
Замечание. На каждом шаге симплексного метода какая-либо неосновная переменная переводится в основные, притом каждое уравнение системы ограничений определяет конечное или бесконечное наибольшее возможное значение этой временной – оценочное отношение. В примерах 5.1 и 5.2 встречались различные случаи оценки роста неосновной переменной, которые зависели от знаков и значений свободного члена и коэффициента при переводимой переменной. Сформулируем все возможные случаи.
Обозначим: хi
— переводимая неосновная переменная,
bj
— свободный член, аij
— коэффициент при xi.
В общем виде уравнение
определяет
наибольшее возможное значение хi
по следующим правилам:
1)
,
если
разного знака и
например:
или
.
2)
,
если
одного знака и
например:
.
3)
,
если
,
например:
.
4)
,
если
,
например:
.
5)
,
если
,
например:
.