§ 7.5. Открытая модель транспортной задачи

Открытая транспортная задача решается сведением ее к закрытой транспортной задаче.

Пример 7.9. Найти оптимальное распределение поставок для транспортной задачи (табл. 7.17).

Таблица 7.17

	45	35	55	65
40	4	1	2	5
60	3	2	3	7
90	4	4	5	2

Решение. В данном случае суммарная мощность потребителей больше, чем суммарная мощность поставщиков (45+35+55+65=200>40+60+90=190). Введем "фиктивного поставщика" и в таблице поставок добавим дополнительную строку (табл. 7.18) так, чтобы задача стала закрытой. Для этого мощность фиктивного поставщика следует принять равной 10 = 200 - 190. Коэффициенты затрат этой добавленной строки определяются издержками ввиду недогрузки мощностей потребителей. Если информация об этих издержках отсутствует, то их принимают равными одному и тому же числу (например, нулю, как в табл. 7.18). Согласно теореме 7.3, конкретное значение этого числа не влияет на оптимальное распределение поставок.

Таблица 7.18

	45	35	55	65
40	4	1	2	5
60	3	2	3	7
90	4	4	5	2
10	0	0	0	0

Первоначальное распределение поставок для сформулированной закрытой транспортной задачи найдем, например, по методу наименьших затрат. Для удобства читателя укажем последовательность заполнения таблицы поставок: . В результате приходим к следующему базисному распределению поставок (табл. 7.19).

Таблица 7.19

4	1 35	2 5	5
3 10	2	3 50	7
4 35	4	5	2 55
0	0	0	0 10

0 1 0 2

Установим, оптимально ли это распределение — найдем для него матрицу оценок (табл. 7.19).

(7.19)

Так как среди оценок свободных клеток есть отрицательные, то найденное распределение не оптимально. Переведем поставку в одну из клеток с наименьшей отрицательной оценкой, например, в клетку (4,3). Цикл для этой клетки изображен на рис. 7.7. Поставка, передаваемая по циклу, равна x₄₃ ⁼ min{50,35,10} = 10.

(

+

10

-

50

2,1) (2,3)

(

+

55

-

35

3,1) (3,4)

(4,4)

+

0

-

10

(4,3)

Рис. 7.7

Передвигая по циклу поставку, равную 10 единицам, приходим к следующему распределению поставок (табл. 7.20).

Таблица 7.20

4	1 35	2 5	5
3 20	2	3 40	7
4 25	4	5	2 65
0	0	0 10	0

Найдем оценки свободных клеток данного распределения (см. матрицу оценок 7.20). Так как оценки всех свободных клеток неотрицательны, то распределение поставок табл. 7.20 оптимально.

(7.20)

В случае, когда суммарная мощность поставщиков больше суммарной мощности потребителей, в рассмотрение вводится "фиктивный потребитель", к таблице поставок присоединяется дополнительный столбец. Коэффициенты затрат этого добавленного столбца соответствуют затратам на хранение неотправленного груза (поставки последнего столбца — неотправленный груз для каждого из поставщиков). Если информация об этих затратах отсутствует, то их принимают равными одному и тому же числу (например, нулю).