§ 6.2. Взаимно двойственные задачи линейного программирования и их свойства

Рассмотрим формально две задачи I и II линейного программирования, представленные в табл. 6.1, абстрагируясь от содержательной интерпретации параметров, входящих в их экономике-математические модели.

Эти две задачи обладают следующими свойствами:

1. В одной задаче ищут максимум линейной функции, в другой — минимум.

2. Коэффициенты при переменных в линейной функции одной задачи являются свободными членами системы ограничений в другой.

3. Каждая из задач задана в стандартной форме, причем в задаче максимизации все неравенства вида " ", а в задаче минимизации все неравенства вида " ".

4. Матрицы коэффициентов при переменных в системах ограничений обеих задач являются транспонированными друг к другу:

для задачи I ,

для задачи II .

5. Число неравенств в системе ограничений одной задачи совпадает с числом переменных в другой задаче.

6. Условия неотрицательности переменных имеются в обеих задачах.

Две задачи I и II линейного программирования, обладающие указанными свойствами, называются симметричными взаимно двойственными задачами. В дальнейшем для простоты будем называть их просто двойственными задачами.

Исходя из определения, можно предложить следующий алгоритм составления двойственной задачи.

1. Привести все неравенства системы ограничений исходной задачи к одному смыслу: если в исходной задаче ищут максимум линейной функции, то все неравенства системы ограничений привести к виду " ", а если минимум, то к виду " ". Для этого неравенства, в которых это требование не выполняется, умножить на –1.

2. Составить расширенную матрицу системы А₁, в которую включить матрицу коэффициентов при переменных А, столбец свободных членов системы ограничений и строку коэффициентов при переменных в линейной функции.

3. Найти матрицу , транспонированную к матрице А₁.

4. Сформулировать двойственную задачу на основании полученной матрицы и условия неотрицательности переменных.

Пример 6.1. Составить задачу, двойственную следующей задаче:

при ограничениях

.

Решение. 1. Так как исходная задача на максимизацию, то приведем все неравенства системы ограничений к виду " ", для чего обе части первого и четвертого неравенства умножим на -1. Получим

2. Составим расширенную матрицу системы

.

3. Находим матрицу , транспонированную к А

.

4. Формулируем двойственную задачу:

при ограничениях

.

§ 6.3. Первая теорема двойственности

Связь между оптимальными решениями двойственных задач устанавливается с помощью теорем двойственности. Вначале рассмотрим вспомогательное утверждение.

Основное неравенство теории двойственности. Пусть имеется пара двойственных задач I и II. Покажем, что для любых допустимых решений Х= (x₁, x₂, ... ,x_n) и Y = (у₁ у₂, ... , у_т) исходной и двойственной задач всегда справедливо неравенство

или . (6.7)

Достаточный признак оптимальности. Сформулируем теорему:

Если - допустимые решения взаимно двойственных задач, для которых выполняется равенство (6.10), то оптимальное решение исходной задачи I, а - двойственной задачи II.

Первая (основная) теорема двойственности. Если одна из взаимно двойственных задач имеет оптимальное решение, то его имеет и другая, причем оптимальные значения их линейных функций равны: . (6.11) Если линейная функция одной из задач не ограничена, то условия другой задачи противоречивы.

Из первой части утверждения теоремы следует, что равенство (6.10) является не только достаточным признаком оптимальности решений, но и необходимым признаком оптимальности решений взаимно двойственных задач.

Рассмотрим примеры, подтверждающие справедливость первой теоремы двойственности.

Пример 6.2. Даны две взаимно двойственные задачи:

I . II.

при ограничениях при ограничениях

. .

Задача I об использовании ресурсов (см. § 1.2) и двойственная ей задача II были решены ранее (см. § 5.2-5.3) и получены оптимумы линейных функций F_max = 24 для задачи I и Z_min = 24 для задачи II, т.е. заключение первой части основной теоремы двойственности (6.11) верно.

Экономический смысл первой (основной) теоремы двойственности. План производства и набор цен (оценок) ресурсов оказываются оптимальными тогда и только тогда, когда прибыль (выручка) от продукции, найденная при "внешних" (известных заранее) ценах с₁, с₂, ... , с_n равна затратам на ресурсы по "внутренним" (определяемым только из решения задачи) ценам у₁, у₂, ... , у_т. Для всех же других планов X и Y обеих задач в соответствии с основным неравенством (6.7) теории двойственности прибыль (выручка) от продукции всегда меньше (или равна) затрат на ресурсы.

Так, в примере 6.2 оптимумы прибыли от продукции F_max и затрат на ресурсы Z_min равны 24 руб., для всех остальных планов .

Экономический смысл первой теоремы двойственности можно интерпретировать и так: предприятию безразлично, производить ли продукцию по оптимальному плану и получить максимальную прибыль (выручку) F_max либо продать ресурсы по оптимальным ценам и возместить от продажи равные ей минимальные затраты на ресурсы Z_min.

Пример 6.3. Даны две взаимно двойственные задачи:

I . II.

при ограничениях при ограничениях

. .

Можно убедиться (симплексным методом или геометрически) в том, что в исходной задаче I линейная функция не ограничена , а в двойственной условия задачи противоречивы, т.е. заключение второй части основной теоремы двойственности выполняется.

Замечание. Утверждение, обратное по отношению ко второй части основной теоремы двойственности, в общем случае неверно, т.е. из того, что условия исходной задачи противоречивы, не следует, что линейная функция двойственной задачи не ограничена.

Пример 6.4. Даны две взаимно двойственные задачи:

I . II.

при ограничениях при ограничениях

. .

Можно убедиться (симплексным методом или геометрически) в том, что в каждой из задач отсутствуют допустимые решения, т.е. условия обеих задач противоречивы.