III. Отсутствие конечного оптимума

Пример 5.9. Решить симплексным методом задачу:

при ограничениях:

Решение. Геометрическое решение этой задачи приведено в примере 4.3,б (см. рис. 4.5,6). На очередном шаге решения этой задачи симплексным методом получаем.

Основные переменные: х₁, х₂, х₅. Неосновные переменные: x₃, x₄.

- базисное решение; ; min не достигнут, так как критерий оптимальности на min не выполнен: переменная х₃ имеет отрицательный коэффициент в выражении для F. Определяем х₃ = min ( , , ) = , так как в каждое из трех уравнений эта переменная входит с тем же знаком, что и свободный член. Уравнения не ограничивают рост х₃, поэтому и значение функции F неограниченно и отрицательно, т.е. .

Если на каком-либо шаге получаем, что во всех уравнениях системы бесконечны оценочные отношения той переменной, которая переводится в основные, то задача не имеет конечного оптимума ( , если задача на отыскание максимума, , если задача на отыскание минимума).

Подводя итоги, можно утверждать, что если система ограничений непротиворечива, то выполнение конечного числа последовательных шагов симплексного метода либо приводит к нахождению оптимального решения задачи, (оно может бы неединственным), либо к установлению того факта, что линейная функция не имеет конечного оптимума.

§ 5.6. Симплексные таблицы

Практические расчеты при решении реальных задач симплексным методом выполняются в настоящее время с помощью компьютеров. Однако, если расчеты осуществляются без ЭВМ, то удобно использовать так называемые симплексные таблицы. Далее мы рассмотрим алгоритм их составления, не углубляясь в его подробное обоснование. Для определенности считаем, что решается задача на отыскание максимума.

I. После введения добавочных переменных систему уравнений и линейную функцию записываем в виде, который называется расширенной системой:

Предполагаем, что все добавочные переменные имеют тот же знак, что и свободные члены; в противном случае — используем так называемый М-метод.

II. Исходную расширенную систему заносим в первую симплексную таблицу. Последняя строка таблицы, в которой записано уравнение для линейной функции цели, называется оценочной. В ней записываются коэффициенты функции цели с противоположным знаком: b_i = -c_i,. В левом столбце таблицы записываем основные переменные (базис), в первой строке таблицы — все переменные (отмечая при этом основные), второй столбец — свободные члены расширенной системы b₁ b₂, ... , b_m. Последний столбец подготовлен для оценочных отношений, необходимых при расчете наибольшего возможно значения переменной. В рабочую часть таблицы (начиная с третьего столбца и второй строки) занесены коэффициенты а_ij при переменных из расширенной системы. Далее таблица преобразуется по определенным правилам. Проверяем выполнение критерия оптимальности при решении задачи на max — наличие в последней строке отрицательных коэффициентов . Если таких нет, то решение оптимально, достигнут max F = c₀ (в левом нижнем углу таблицы); основные переменные принимают значения а_i0(второй столбец), неосновные переменные равны 0, получаем оптимальное базисное решение.

IV. Если критерий оптимальности не выполнен, то наибольший по модулю отрицательный коэффициент b_i < 0 в последней строке определяет разрешающий столбец S.

Составляем оценочные ограничения каждой строки по следующим правилам:

1) , если имеют разные знаки; 2) , если и ;

3) , если ; 4) 0, если ;

5) , если имеют одинаковые знаки.

Определяем . Если конечного минимума нет, то задача не имеет конечного оптимума (F_max = ). Если min конечен, то выбираем строку q, на которой он достигается (любую, если их несколько), и называем ее разрешающей строкой. На пересечении разрешающих строки и столбца находится разрешающий элемент a_qs.

V. Переходим к следующей таблице по правилам:

а) в левом столбце записываем новый базис — вместо основной переменной x_q переменную x_s;

б) в столбцах, соответствующих основным переменным, проставляем нули и единицы: 1 - против "своей" основной переменной, 0 - против "чужой" основной переменной, 0 – в последней строке для всех основных переменных;

в) новую строку с номером q получаем из старой делением на разрешающей элемент a_qs;

г) все остальные элементы вычисляем по правилу прямоугольника:

Рис. 5.4

Переходим к п. III алгоритма.

Пример 5.10. Решить задачу об использовании ресурсов, приведенную в § 1.2, с помощью симплексных таблиц (В примере 4.1 эта задача уже решена геометрически, а в примере 5.1 симплексным методом без использования таблиц).

Решение. Расширенная система задачи имеет вид (5.1):

Линейную функцию представим в виде: F - 2х₁ - 3x₂ = 0.

Заполняем первую табл. 5.1, в которой переменные х₃, х₄, х₅ основные. Последняя строка заполняется коэффициентам линейной функции с противоположным знаком (см. п. II алгоритма).

Таблица 5.1

Базис	Свободный член	Переменные						Оценочное отношение
	18	1	3	1	0	0	0	18/3
	16	2	1	0	1	0	0	16
	5	0	1	0	0	1	0	5
	21	3	0	0	0	0	1
F	0	-2	- 3	0	0	0	0

В соответствии с п. III алгоритма проверяем критерий оптимальности. В последней строке имеются отрицательные коэффициенты.

Выбираем из них наибольший по модулю (-3); второй столбец разрешающий, переменная x₂ перейдет в основные (этот столбец отмечен стрелкой). В соответствии с п. V находим оценочные отношения и х₂ = min {18/3;16;5; } = 5. Третья строка является разрешающей (отмечена горизонтальной стрелкой). На пересечении разрешающих строки и столбца стоит разрешающий элемент a₃₂= 1

Строим табл. 5.2 по правилам п. V:

а) в новом базисе основные переменные: х₃, х₄, х₂, х₆;

б) расставляем нули и единицы; например, в клетке, соответствующей основной переменной х₃ по столбцу и строке, ставим 1, а в клетке, соответствующей основной переменной х₂ по строке, а основной переменной х₂ — по столбцу, ставим 0 и т.п. В последней строке против всех основных переменных ставим 0. Третья строка получается делением на разрешающий элемент а₃₃ = 1. Остальные клетки заполняем по правилу прямоугольника. Например: и т.д. Получим вторую симплексную таблицу (табл. 5.2).

Таблица 5.2

Базис	Свободный член	Переменные						Оценочное отношение
	3	1	0	1	0	-3	0	3
	11	2	0	0	1	-1	0	11/2
	5	0	1	0	0	1	0
	21	3	0	0	0	0	1	7
F	15	-2	0	0	0	3	0

И на этот раз критерий оптимальности не выполнен, первый столбец разрешающий; х₁ – переходит в основные, min{3; 11/2; ;7} = 3. Первая строка разрешающая, а₁₁ – разрешающий элемент. Новая симплексная таблица примет вид (табл. 5.3):

Таблица 5.3

Базис	Свободный член	Переменные						Оценочное отношение
	3	1	0	1	0	-3	0
	5	0	0	-2	1	5	0	5/5
	5	0	1	0	0	1	0	5/1
	12	0	0	-3	0	9	1	12/9
F	21	0	0	0	0	-3	0

И на этот раз критерий оптимальности не выполнен, пятый столбец и вторая строка разрешающие, a₂₅ = 5 — разрешающий элемент. Переходим к табл. 5.4.

Таблица 5.4

Базис	Свободный член	Переменные						Оценочное отношение
	6	1	0	-1/5	3/5	0	0
	1	0	0	-2/5	1/5	1	0
	4	0	1	2/5	-1/5	0	0
	3	0	0	3/5	-9/5	0	1
F	24	0	0	4/5	3/5	0	0

Критерий оптимальности выполнен, значит F_max = 24, оптимальное базисное решение (6;4;0;0;1;3) совпадает с ранее полученным (см. решение примера 5.1 симплексным методом).