§ 5.5. Особые случаи симплексного метода

Рассмотрим особенности, которые могут возникнуть при решении задачи линейного программирования симплексным методом.

I. Неединственность оптимального решения (альтернативный оптимум)

Пример 5.7. Решить симплексным методом задачу:

при ограничениях:

Решение. Геометрическое решение этой задачи приведено в примере 4.3а (см. рис. 4.5,а), оптимум достигается в любе точке отрезка АВ, так как линия уровня параллельна этому отрезку. Покажем, как проявляется наличие альтернативного оптимума при решении задачи симплексным методом. На очередном шаге получаем:

Основные переменные: х₁, х₂, х₅. Неосновные переменные: х₃, х₄.

Выражаем основные переменные через неосновные:

Х₁ = (3; 5; 0; 0; 9) — допустимое базисное решение, соответствующее угловой точке А (3; 5). Линейная функция: F = 24 – х₃. В этом выражении отсутствуют положительные коэффициенты при неосновных переменных, значит критерий оптимальности выполнен, Х₁ — оптимальное базисное решение . Однако в последнем выражении для F отсутствует неосновная переменная х₄ (формально входит с нулевым коэффициентом), поэтому изменение этой переменяй не повлечет за собой изменение линейной функции. Haпример, можно перевести в основную переменную х₄; х₄ = min{15; ;9} = 9. Переменная x₅ перейдет в неосновные, однако изменения линейной функции не произойдет: . Действительно, на следующем шаге получим новое базисное решение Х₂ = (6;2;0;9;0), соответствующее угловой точке В(6;2), Fmax=F(X₂)=24. Учитывая, что переменная х₃ = 0 (в базисном решении Х₂ она осталась неосновной), а переменная х₄ удовлетворяет неравенству: , из системы уравнений можно получить все множество оптимальных решений задачи. Положим для удобства х₄=t, где . Тогда множество оптимальных решений: .

Замечание. В соответствии с теоремами 3.3, 3.4 множество оптимальных решений можно представить как выпуклую линейную комбинацию Х базисных решений Х = (3; 5; 0; 0; 9) и Х₂ = (6; 2; 0; 9; 0), т.е. в соответствии с выражениями (3.5) и (3.4) имеем: , где .

II. Проблема вырожденного базисного решения

Пример 5.8. Решить симплексным методом задачу:

при ограничениях:

Решение. После введения дополнительных переменных, которые возьмем в качестве основных, получим:

I шаг. Основные переменные: х₃, х₄, х₅. Неосновные переменные: х₁, х₂.

После преобразований:

Х₁ = (0;0;2;6;14) — допустимое базисное решение. . Критерий оптимальности на max не выполнен, переводим в основные переменную х₁ так как в выражение для F она входит с положительным коэффициентом. x₁ = min{2;6/3;14/6} = 2. Оценочные отношения в двух переменных уравнениях совпадают, поэтому в качестве разрешающего можно взять любое из них, например первое.

II шаг. Основные переменные: х₁, х₄, х₅. Неосновные переменные: х₂, х₃.

Получим после преобразований:

X₂ = (2;0;0;0;2) – вырожденное базисное решение, основная компонента х₄ = 0.

Линейная функция цели, выраженная через неосновные переменные, имеет вид: F = 4 + х₂ - 2x₃. Переводя переменную Х₂ в основные, получаем: х₂ = min { ;0;1} = 0, поэтому на следующем шаге изменения функции цели не произойдет . Это нарушение принципа улучшения решения, который должен выполняться при использовании симплексного метода, поэтому уточним этот принцип: каждый следующий шаг должен улучшить или, в крайнем случае, не ухудшить значение линейной функции.

III шаг. Основные переменные: х₁, х₂, х₅. Неосновные переменные: х₃, х₄.

После преобразований получим:

X₃ = (2;0;0;0;2) – это базисное решение тоже вырождено. Покомпонентно оно совпадает с Х₂, однако формально отличается набором основных переменных. Выражение линейной функции через неосновные переменные имеет вид: F = 4 + х₃ – x₄, F(X₃) = 4.

Выполненный шаг хотя и не вызвал увеличение значения линейной функции, не является лишним, так как привел к новому базисному решению. Наличие "пустых" шагов ( ) может привести к так называемому "зацикливанию", т.е. возвращению к ранее найденному допустимому базисному решению (с тем же набором основных и неосновных переменны), и в этом случае процесс бесконечен. Избежать "зацикливания" можно с помощью определенных мер, которые в данном пособии не рассматриваются. Задачи с "зацикливанием" встречаются чрезвычайно редко, так как к нему приводит не только вырождение, но и сочетание его с другими специфическими условиями,

Вывод. Если на каком-либо шаге наибольшее возможное значение переменной достигается в нескольких уравнениях одновременно (совпадают их оценочные отношения), то разрешающим являются любое из них. На следующем шаге получаем вырожденное базисное решение, переход к очередному базисному решению может не изменить функцию цели ( ).

Замечание. Вырождение, полученное при оптимальном решении, может привести к альтернативному оптимуму даже при ненулевых коэффициентах при всех неосновных переменных в линейной функции (об этом упоминалось при рассмотрении I особенности).