§ 3. Линии влияния усилий стержней

При загружении ферм движущейся нагрузкой, например, те­лежкой крана, целесообразно определять усилия в стержнях методом линий влияния. Линии влияния усилий стержней фермы выражают зависимость величины усилий в стержнях от положе­ния груза, равного единице, на ферме. Таким образом, для каж­дого стержня (элемента) фермы строится соответствующая линия влияния.

Груз может перемещаться как по верхнему, так и по ниж­нему поясу фермы в соответствии с загружениями реальными силами.

При построении линии влияния усилий стержней ферм учиты­ваются продольные силы, возникающие в стержнях. Если сила, равная единице, перемещается непосредственно по поясу, то в нем возникают изгибающий момент и поперечная сила, кото­рые учитываются особо. В дальнейшем рассмотрим линии влия­ния только продольных сил.

Грузы могут перемещаться непосредственно по поясам фер­мы, например, тележки —по кранам или подвижной состав — по железнодорожным мостам. При этом пояса испытывают продоль­ные усилия и подвергаются поперечному изгибу. Чтобы постро­ить линию влияния продольного усилия в поясе, иеобходимо сде­лать такое предположение. Вообразим, что по узлам верхнего пояса фермы расположены поперечные брусья, которые поддер­живают продольные бруски длиной, равной панели фермы d (рис. 18-2, а). По продольным брускам перемещается груз, рав­ный единице, воспринимаемый фермой через поперечные брусья. Таким образом, осуществляется передача нагрузки на ферму по узлам.

В действительности такая надстройка нередко осуществляет­ся в сооружениях. Если же она в действительности отсутствует, то для построения линий влияния продольных усилий поясов сле­дует допустить, что она все же имеет место.

Докажем, что при перемещении груза от узла к узлу пояса линия влияния усилия в стержнях фермы определяется уравне­нием прямой линии.

Определим усилия в каком-либо стержне, например 2'3', ког­да р=^1 последовательно находится в узлах 2' и 3'.

443

Обозначим величину усилия рассматриваемого стержня 2'3' при положении груза в узле 2' через N₂, а при положении в уз­ле 3' —iV₃.

Если груз, равный /, находится на панели на расстоянии z от узла 2' (рис/ 18-2, а), то ферма испытывает иагруженил:

в узле 2'

р₂. = \. в у зле. 3' Ру = 1

d — z

f,fp^u г^^^щщтш^^^^—| _йа

Таким образом, "при перемещении груза от узла 2' до узла 3' уси­лие в стержне 2'3' мо­жет быть найдено по формуле

N = y₂P_r \ у₃Р₃> = d- 2

= N„

d

AV

d '

ЩЩ^Ш^^

д)

л. 8л

Ши12 ШП П П ГЯГПТГГтгтттттг^^.^.____

е)

1^>^Ш?ТГТ7ТПТРТГг^т^-------

•V

где yV₂ и N₃ — усилия от единичных сил в узлах 2' и 3'\ ве­личины, не зави­сящие от г; d — длина панели. Полученное урав­нение представляет со­бой линейную функ-

Укпа ДНЮ 2.

Таким образом,уси­лие в элементе при перемещении груза от узла к узлу изменяется по закону прямой ли­нии. Это используют при построении линий влияния элементов

ферм. ' Рассмотрим линии

Рис. 18-2. Построение линий влияния усилий ВЛИЯНИЯ усилий В в стержнях фермы с параллельными поясами стержнях ферМЫ с па-

п 8/1 "2 Ушш

C'f'ftm

^ЛДШШХШшшггшшх

'Тг in

п 6л Qb nk22'

444

раллельными поясами, опирающейся на две опоры (рис, 18-2, а}. Производим последовательно разрезы III—/// и //—// (рис. 18-2,6).

Для построения линии влияния 23 рассмотрим уравнение рав­новесия 2Мз' =0.

При грузе, находящемся справа от разрезанной панели .///—///, уравнение равновесия для левой части фермы будет

АЪ&— 23/г = 0, 23 = А 4-Обозначим через х расстояние от груза до левой опоры А. Тогда при ж=0 А==1 и 23=*~", при х=-=1 А = 0 и 25 = 0.

Проводим правую линию влияния 23, которая верна при ус­ловии, что груз находится на' участке от узла 6' до узла 3'.

При грузе, находящемся слева от разрезанной панели III—III, уравнение равновесия для правой части фермы будет

ВЫ - Ш = 0, ' откуда

32=-Я^.

Аналогичным образом находим левую линию влияния, кото­рая верна при грузе, находящемся на участке от узла О' до узла 2'.

При перемещении груза от 2' до З^г линия влияния изменяется по закону прямой, изображенной на рис. 18-2,6, являющейся продолжением левой линии влияния.

Можно значительно упростить технику построения линии влияния усилия в стержне 23, если учесть следующее. При на­хождении единичной силы в точке 3' безразлично, рассматрива­ют ли равновесие левой отрезанной части фермы и выражают 23 через величину реакции А или правой части фермы и определя­ют 32 через .реакцию В. В обоих случаях в уравнения равнове­сия не входит член, зависящий от единичной силы. Это означает, что ордината левой линии влияния (груз слева от разрезанной

панели), определяемой из соотношения -о-^-. равна ординате правой линии влияния (груз находится справа от разрезанной панели), вычисляемой по А—г-, т. е. правая и левая линии влия­ния пересекаются под моментной точкой. Это важное свойство линий влияния, облегчающее их построение. В самом деле, про-

водим правую линию 23^=А~г-, которая верна пока груз нахо­дится на участке между узлами 3' и 6'. Левая линия влияния, определяемая через реакцию В, имеет ординату, равную нулю на

445

опоре А, и пересекается с правой линией под точкой 3'. Эта пря­мая верна на участке между узлами О' и 2'. Между узлами 2'кЗ^г линия влияния выражается линейной функцией, т. е. прямой, представляющей собой продолжение левой линии влияния.

Аналогично пишем условия равновесия'2М₂=0 и строим ли­нию влияния 2'3' (рис. 18-2, в).

Рассмотрим в сечении ///—/// условия равновесия 2У~0.

При грузе, находящемся справа от разрезанной панели, урав­нение равновесия для левой части фермы запишется

А + 23'sin а. = 0.

При х = 0 23' =------^—; при х =- I 23' = 0.

^r Sin а * ^г

Проводим правую линию влияния 23', которая верна при грузе, находящемся на участке от узла 6' до узла 3' (рис. 18-2, г).

При грузе, расположенном слева от разрезанной панели, уравнение равновесия для правой части фермы запишется

В - 3'2 sin a = 0.

При х --•= 0 в'2 --- 0; при х --= I 3'2 - ——. ^г ' ' sin я

Левая линия влияния верна при грузе, находящемся на участке 0'2'.

При перемещении груза от 2' до 3' линия влияния 23' опреде­ляется пунктирной прямой (см, рис. 18-1,г).

Линию влияния усилия 23' можно построить более простым способом, если учесть, что левая и правая прямые пересекаются под моментной точкой.

Находим сначала правую прямую, которая строится по урав­нению 23'=A/s'm a.

Известно, что левая прямая имеет ординату на левой опоре, равную нулю, и должна пересечь правую под моментной точкой. Момептная точка при определении усилия в раскосе находится на пересечении направлений параллельных поясов, т. е. в беско­нечности. Это указывает, что левая и правая линии влияния рас­коса 23' параллельны между собой.

Линия влияния t'2^r строится из рассмотрения условия равно­весия узла 2' — проектирования всех сил на горизонтальную ось

откуда следует: 2'1' = 2'3',

Линия влияния О'Г строится с учетом условия равновесия узла О'

zx = o,

откуда следует: О'Г ~0.

446

Для построения линии влияния 12 проводится разрез 11—И и пишутся условия равновесия £М г=0.

Очертание линии влияния 12 показано на рис. 18-2, д.

Из условия равновесия 2^=0 в узле / следует, что линия влияния 10 равна линии влияния 12.

Для построения линии влияния V2 следует использовать ус­ловие равновесия 2F—0.

При грузе, находящемся справа от разрезанной панели Я—//,

А —/'2 sin a = 0,

откуда

Прих = 0 Г2 = ——: при х --= / /'2-0. ^r sin я ' ^г

Проводим правую линию влияния Г2, которая верна при

грузе, находящемся на участке от узла 6' до узла 2' (рис. 18-2, е).

При грузе, находящемся слева от разрезанной панели //—И,

В + 21' sin а ----- 0; 21' = - - ~4~-

Sin a

При х = 0 2Г = 0; при jc - / 2Г =------—.

Проводим левую линию влияния на участке ОЧ'. При перемеще­нии груза от /' до 2^Г линия влияния определяется уравнением прямой, изображенной на рис. 18-2, е пунктирной линией.

Аналогично строим линию влияния усилия в стержне 01' (рис. 18-2, ж).

Построим линию влияния усилия в стойке 11'. Из условия равновесия сил, приложенных в узле /, 2У = 0 вытекает, что усилие П'=0 (рис. 18-2,6).

Ординаты линии влияния стойки 33' также равны нулю.

При построении линии влияния усилия в стержне 22' следует рассмотреть условия равновесия 2X^=0 в узле 2'.

Если груз находится вне второй и третьей панелей, то уси­лие 2'2'^G.

Если груз находится в узле 2', то условие SK=0 пишется та­ким образом: —-2'2—-1 = 0, при этом 2'2= — 1.

При перемещении груза от /' к 2' и от 2' к 3' линия влиянии имеет очертание треугольника (рис. 18-2, з).

Линия влияния усилия в опорной стойке О'О находится из условия равновесия 2К=0 в узле О' (рис. 18-2, з).

При отсутствии груза на первой панели — О'О = 0.

447

При нахождении груза в узле О' уравнение равновесия за­пишется

-1 ~-ОХ>-0,

откуда

0'0 = — 1.

При перемещении груза от узла О' до узла /' линия влияния усилия в стержне 00' определяется уравнением прямой, изобра­женной на рис. 18-2,3 наклонной линией.