§ 4. Расчет жесткости и прочности

Балка должна удовлетворять требованию жесткости, т. е. ее прогиб от наибольшей нагрузки не должен превышать предель­но допускаемого. Обычно в балках предельная величина отно-

308

шений f_maX /I (где /_mas— стрела прогиба балки) регламентирует­ся нормами. Норма жесткости f_max!t для балок разных назначе­ний различна, например, в подкрановых балках она должна быть не более 1/600н~ 1/700, в главных балках междуэтажных перекрытий — около 1/400 и т. д.

Чтобы удовлетворить требованиям жесткости, балка задан­ной системы при определенном пагружении и заданных долу-

8}

.....шичииишипппшШппиишиинимчцщщц

тптптта

■б?

Рис. 14-7. К расчету сварной балки:

а) изогнутая ось балки от q\ б) поперечное сечение балки; в), г) влияние со­средоточенной силы, вызывающей напряжения а = о_;ж

скаемых напряжениях должна иметь высоту не менее некоторой предельной. Эта предельная величина определяется формулой,. приводимой ниже.

Рассмотрим, какова должна быть предельно наименьшая вы­сота балки, свободно лежащей на двух опорах, если она нагру­жена равномерной нагрузкой (рис. 14-7, а).

Величина расчетного прогиба

/ =

A. ill

584 EJ

(И.4)

где EJ — жесткость балки.

309

Для рассматриваемой балки величина расчетного момента равна

Подставляя значение М в формулу (14.4), получим

f = A. J*1L ■ (145)

^J 48 EJ ' ^V '

Величина изгибающего момента может быть выражена через произведение допускаемого напряжения на момент сопротивле­ния сечения

M=\*]_VW. (14.6)

Если расчетное сечение симметрично относительно горизон­тальной оси, то

2/

W=~

А

где h — высота балки.

Подставив значение М из формулы (14.6) в формулу (14.5), получим

/2

/--■."■^J4" , (I4.7)

2 \Uh ' ■

откуда

¹ ' 24/:Л ИЛИ

¹ ' ~2Wf

;н.8)

Высота балки, вычисленная по формуле (14.8). является наи­меньшей при заданных [ст]_{) и норме жесткости fit и может быть увеличена, если это диктуется соображениями компоновки кон­струкции или экономии металла. Она уменьшается при уменьше­нии величины [а]_Р.

При других погружениях и системах балок, например, кон­сольных» .миогоопорных, с защемленными концами и т. п, п фор­муле (14.8) изменяется лишь численный коэффициент. Напри­мер, при нагружении одпопролстиой балки с шарнирными опо­рами сосредоточенной силой Р в середине пролета отношение будет следующим:

зп

При действии моментов в двух плоскостях (вертикальной и горизонтальной) высота балки h определяется с учетом напря­жения а_х лишь от момента М_х. а ширина балки Ь — с учетом на­пряжения о_у от момента М_у. Сумма о_х-\-а_у должна быть-<[а]_р. Соотношение между о_х и а_у устанавливается приближенно на основе имеющегося опыта проектирования конструкции или спо­собом последовательного приближения. При этом задаются ожи­даемыми отношениями а_х/о_у и затем проверяют их правильность повторными расчетами.

Балка должна удовлетворять прочности при условии наи­меньшего веса. Поперечное сечение должно быть в этих услови­ях минимальным.

Высота балки может быть найдена по формулам:

для двутаврового профиля

д = 1 ,з ^ 1,4 К=^=; (14.9)

для коробчатого профиля

где М — расчетный изгибающий момент балки; s_H — толщина вертикального листа.

При проектировании балок величина s_b и формуле (14.9) неизвестна. Поэтому ее первоначально задают. Для разных строительных конструкций s_H обычно изменяется в сравнительно узких пределах: в легких балках колеблется от 5 до 10 мм, в тя­желых— от 10 до 18 мм,

Высоты h, найденные по формулам, построенным с учетом требований достаточной жесткости [формула (14.8)] и прочности при условии наименьшего веса [формула (14.9)], могут оказать­ся совершенно различными. Из двух высот, вычисленных для балки двутаврового профиля по формулам (14.8) и (14.9), сле­дует принять наибольшую величину, но во всяком случае не меньшую, чем высоту h, вычисленную по формуле (14.8).

Далее подбирают размеры поперечного сечения балки с уче­том расчетного изгибающего момента М и высоты h.

Рассмотрим процесс подбора сечения двутаврового профиля (рис, 14-7,6). Для этого найдем требуемый момент сопротив­ления

^т_Р = -я- (^14Л1>

Ир

и требуемый момент инерции сечения

Л_Р- Wx_P-f- П4Л2)

311

Вычислим момент инерции и толщиной s_B

вертикального листа высотой h

Л =

S_Bftfl

12

(14.13)

(принимаем приближенно fc„=0,95ft)-

Находим требуемый момент инерции двух горизонтальных листов

Л = /

тр

Л.

В другой форме момент инерции выразится так:

Л -2 [Л-f/7(-|-)],

(14.14)

(14.15)

где /_с

А,

момент инерции горизонтального листа относительно собственной оси, который всегда очень мал и прибли­женно может быть принят равным нулю; -расстояние между центрами тяжести горизонтальных листов, которое приближенно можно принять равным 0,95-н- 0,98А. Из уравнения (14.15) находим требуемую площадь сечения одного горизонтального листа

ну

/V

(14.16)

Подобрав размеры поперечного сечения балки, определим величины напряжений и таким образом проверим, что подобран­ные размеры удовлетворяют условиям прочности.

Напряжение от изгиба равно

где /---момент инерции подобранного сечения.

Касательное напряжение от поперечной силы будет

(14.17)

(14.18)

где Q — наибольшая поперечная сила балки;

S — статический момент полуплощади сечения (симметрич­ного) относительно центра тяжести балки (рис. 14-7,г). Эквивалентные напряжения проверяются обычно в тех слу­чаях, когда максимальные значения М и Q совпадают в одном поперечном сечении. Их определяют на уровне верхней кромки вертикального листа

Оа^^-т-З-с',;

(14.19)

312

нормальное напряжение

	Mh3
касательное напряжение
	QS

;i4.20)

(14.21)

где S — статический момент площади горизонтального пояса относительно центра тяжести сечения балки.

В большинстве случаев эквивалентные напряжения а_э ока­зываются меньше а, вычисленного по формуле (14.17).

При всех условиях расчетные напряжения а, найденные по формуле (14.17), или сг_э, вычисленные по формуле (14.16), не должны превышать 1,05[а]_р.

Сечение считается подобранным рационально, если <т= (0,95-5- 1,05}[<т]_р.

Допустим, что к верхнему поясу балки прикладывают сосре­доточенные перемещающиеся грузы (рис. 14-7,в). Это имеет ме­сто в крановых, подкрановых и мостовых балках. При этом определяют прочность вертикального листа с учетом местного напряжения под грузом

°, = ~~~^~, (И.22)

где Р — величина сосредоточенного груза;

m—коэффициент, равный 1,5 при тяжелом режиме работы балки (например, в металлургических цехах) и 1,0 при легком режиме (например, в ремонтных); г —условная длина, па которой сосредоточенный груз рас­пределяется в вертикальном листе (рис. 14-7,б);

3,25 У^-. (14.23)

Здесь /„ — момент инерции горизонтального листа совместно с приваренным к нему рельсом (если таковой име­ется) относительно оси х_п, проходящей через их общий центр тяжести О' (рис. 14-7,г).