6.11 Основные законы магнитного поля

Известно,что поле вектора , как и любое векторное поле, может быть представлено графически в виде линий вектора , густота которых в каждой точке поля пропорциональна модулю , а направление совпадает с касательной к линии вектора .

Магнитное поле, как и электрическое, обладает двумя важнейшими свойствами, связанными с потоком и циркуляцией векторного поля. Эти свойства выражают основные законы магнитного поля.

6.11.1 Теорема Гаусса для вектора

Отсутствие в природе магнитных зарядов приводит к тому, что линии вектора не имеют ни начала, ни конца, т.е. они замкнуты. Если взять замкнутую поверхность, охватывающую некоторый объем, то число линий входящих и выходящих из этого объема одинаково. В итоге поток вектора через эту поверхность равен нулю. Элементарный поток равен , поток через произвольную поверхность .

А поток вектора через замкнутую поверхность равен нулю независимо от формы поверхности:

.

Это и есть теорема Гаусса для вектора в интегральной форме. Она выражает факт отсутствия магнитных зарядов, на которых начинались бы и заканчивались линии вектора в отличие от электрического поля. Иначе говоря, магнитное поле не имеет источников.

В соответствии с теоремой Остроградского – Гаусса:

, Последнее условие должно выполняться для любого выбранного объема , что возможно, когда подынтегральное функция в каждой точке поля равна нулю, т.е.

Таким образом, магнитное поле обладает тем свойством, что его дивергенция всюду равна нулю. Это означает, что оно не имеет источников. Магнитное поле порождается не магнитными зарядами, а электрическими токами. Закон справедлив как для постоянных, так и для переменных магнитных полей.

6.11.2 Теорема о циркуляции вектора

Запишем выражение для циркуляции вектора для магнитного поля постоянных токов в вакууме . Вычислим этот интеграл для магнитного поля прямого тока. Пусть плоскость замкнутого контура перпендикулярна току, рис.6.9. Ток перпендикулярен плоскости чертежа и направлен за чертеж.

I

I

Рис.6.9а Рис.6.9б

В каждой точке контура вектор направлен по касательной к окружности, проведенной через эту точку. Запишем выражение для циркуляции как ,где - проекция элемента длины контура на направление вектора . Из рис. видно, что , тогда = = . Интегрируя по углу: . При обходе по контуру (по часовой стрелке) радиальная прямая все время поворачивается в одном направлении и . Значит,

Если ток не охватывается контуром, рис.6.9б, то при обходе по контуру радиальная прямая поворачивается сначала в одном направлении (участок 1-2), а потом – в противоположном, (участок 2-1), вследствие чего , значит, если контур не охватывает ток, циркуляция вектора равна нулю. Знак выражения зависит от направления обхода по контуру, в этом же направлении отсчитывается и угол . Если направление тока образует с направлением обхода правовинтовую систему, эта величина положительная и, наоборот.

С помощью этой формулы легко вспомнить индукцию поля прямого тока, рис.6.10. Циркуляция в этом случае равна , откуда

, эта формула справедлива и для провода произвольной формы, например, для кругового тока.

Е

Рис.6.10

сли токи текут через поверхность, охватываемую контуром, то ток представляют через плотность. тока:

Интеграл берется по произвольной поверхности , натянутой на контур, есть плотность тока в той точке, где расположена площадка , - положительная нормаль к ней. Значит, теорему Гаусса можно записать в виде:

.