6.8 Механическая потенциальная энергия контура с током в однородном магнитном поле

Модуль момента сил: ,

для того, чтобы угол между векторами и увеличить на

, нужно совершить работу против сил Ампера, действующих на контур: . Поворачиваясь в обратную сторону, контур может совершить работу над каким-нибудь телом и возвратить затраченную на его поворот работу. Значит, работа идет на увеличение потенциальной энергии, которой обладает контур с током в магнитном поле:

.

Всю механическую потенциальную энергию контура с током при его повороте в магнитном поле на угол  найдем интегрированием: .

Можно принять const=0, тогда механическая потенциальная энергия:

,

т.е., равна скалярному произведению векторов, что похоже на энергию диполя в электрическом поле: . Параллельная ориентация векторов и отвечает минимуму энергии и, следовательно, положению устойчивого равновесия контура, в этом случае контур растягивается.

Отметим, что не полная потенциальная энергия контура с током, а только та ее часть, что связана с существованием вращательного момента.

6.9 Сила и момент сил, действующих на контур с током в неоднородном магнитном поле

Поместим плоский контур с током в неоднородное магнитное поле. Пусть поле изменяется в направлении оси x, совпадающим с вектором и, что ориентирован вдоль поля, рис.6.7.

Т.к.  const, то сила  0. Элементарные силы , т.е. перпендикулярны линии , рис.6.7. Силы, приложенные к разным элементам контура образуют веер. Их результирующая направлена в сторону возрастания поля и втягивает контур в поле. Чем больше изменяется поле (больше ), тем меньше угол раствора веера и больше сила. При изменении направления тока в контуре, а значит и направления на противоположное контур будет выталкиваться из поля.

Рис.6.7

Используя известную из механики связь между потенциальной энергией и силой:

и выражение для , можно найти . В других направлениях поле не изменяется (по предположению), проекции сил на другие оси равны нулю, т.е.

.

Значит, в неоднородном магнитном поле сила зависит от ориентации контура относительно поля. Если и совпадают ( ), то , т.е. сила направлена в сторону возрастания поля . Поле втягивает контур в область более сильного поля. Если и антипараллельны ( ), сила , т.е. направлена в сторону убывания .

Кроме того, на контур с током в неоднородном магнитном поле действует вращающий момент:

.

Таким образом, магнитный момент контура определяет силу и момент сил , т.е. полностью определяют поведение контура с током в магнитном поле.

6.10 Работа при перемещении контура с током в магнитном поле

Если контур с током находится во внешнем магнитном поле, то на отдельные его элементы действуют силы Ампера, значит, при перемещении контура они совершают работу.

Возьмем контур, образованный неподвижными проводами и скользящей по ним перемычкой длины . Поле предполагаем однородным, направленным перпендикулярно плоскости контура, рис.6.8.

Рис.6.8

Сила при указанных и направлении тока направлена вправо и равна:

. Она совершит работу:

.

Здесь - изменение магнитного потока, пронизывающего контур. При определении знака магнитного потока Ф =ВS берут положительную нормаль к контуру, (чтобы она образовывала правовинтовую систему с током), тогда ток положительный, а, значит совпадает с , поток будет положительным и равным , - площадь контура. При перемещении вправо поток получает положительное приращение и работа: .

При изменении направления поля на нас сила изменит направление (влево). Поэтому при перемещении перемычки вправо на магнитная сила совершит отрицательную работу:

. Поток через контур в этом случае отрицательный, он равен , его приращение . Тогда выражение для работы будет в том же виде: .

Полученный результат справедлив при любом направлении поля . В этом можно убедиться, разложив на три составляющие: . Составляющая вдоль перемычки параллельна току, поэтому сила в этом направлении равна нулю; Составляющая вдоль перемещения ( ) вызывает силу, направленную перпендикулярную контуру (к нам) и перемещению, поэтому работы не производит. Остается лишь составляющая , перпендикулярная плоскости, в которой движется перемычка. Поэтому в формуле для работы можно записать:

, т.к. .

Работу совершает только нормальная составляющая поля .

Можно показать, что и для любого контура с током при произвольном его перемещении в постоянном неоднородном магнитном поле:

, где - приращение магнитного потока через весь контур. Работу сил Ампера при полном перемещении контура от начального положения 1 до конечного – 2 находят интегрированием:

, если ток постоянный. Здесь Ф₂ и Ф₁ – потоки в конечном и начальном положениях контура, т.е. работа равна произведению силы тока на приращение магнитного потока через контур. При этом учтен и знак работы.

Например, при повороте витка с током из положения с в положение , когда, т.е. на 180, получим: . То же самое получим, если запишем работу как изменение потенциальной энергии контура с током в магнитном поле: .

Отметим, что работа совершается не за счет энергии внешнего магнитного поля, а за счет источника, поддерживающего неизменным ток в контуре. При изменении потока в контуре возникает э.д.с. индукции , следовательно, источник работает против э.д.с.