5.1.2. Правило построения диаграммы Максвелла-Кремоны для тельферной нагрузки.
Вычерчиваем ферму в масштабе, аналогично, как и первом случае.
Прикладываем единичную нагрузку от тельфера только к одной половине фермы (см. рис.4).
Определяем опорые реакции из условий равновесия.
Сумма моментов сил относительно левой опоры должна равнятьс нулю, т.е.
1∙2d∙ cos γ - В∙8d∙ cos γ = 0, или, после сокращения,
1 = 8В, откуда В= 0,25.
Здесь: d - длина панели верхнего пояса.
Сумма проекций всех сил на вертикальную ось должна равняться нулю, т.е.
А-1 +В = 0, откуда А = 1-В = 1 -0,25 = 0,75
Обозначим внешние области буквами а, б и в. Внешние области - это области с внешней стороны фермы, расположенные между силами (силы - это единичные узловые нагрузки и опорные реакции). Внутренние области обозначим цифрами, как показано на рис.4.
Назначаем масштаб сил. Так как построения велись в AutoCad, принято 1 = 10 000 мм.
При общем масштабе схемы фермы М 1:100, масштаб сил на листе формата А4, 1 = 100 мм
Проводим с правой стороны листа вертикальную прямую и отметим на ней точку "а".
Чтобы перейти из области "а" в область "б", надо "перескочить" через реакцию опоры В=0,25 по напрвлению этой силы, т.е. из т. "а" подняться на 0,25 = 25 мм. На вертикальной прямой получим т. "б".
Аналогично, чтобы перейти из области "б" в область "в", надо "перескочить" через единичную силу 1,0 по направлению этой силы, т.е. из т. "б" опуститься на 1,0 = 100 мм. На вертикальной прямой получим т. "в".
Аналогично, чтобы перейти из области "в" в область "а", надо "перескочить" через реакцию левой опоры А=0,75 =75 мм по направлению этой силы, т.е. из т. "в" подняться на 0,75 = 75 мм на вертикальной прямой, т.е. венуться в исходную точку "а".
Через полученные точки на вертикальной прямой проводим прямые, параллельные одноимённым областям. Так из точки "а", проводим две наклонные прямые, параллельные левому и правому скатам кровли. Соответственно, из точек "б" и "в" проводим горизонтальные прямые, параллельные нижнему поясу фермы.
Точка "а" располагается на исходной вертикальной прямой. Точка "в" находится на этой же вертикали и одновременно на наклонной прямой, соответствующей области"а".
Область "а" граничит с областью "в" с которой одновременно граничит область "1", следовательно точка "1" совпадает точкой "в".
Для построения отрезка "1-2" из уже построенной точки "1" проводим прямую, параллельную стержню "1-2" до пересечения с прямой, проходящей через т. "а" , так как область "2" граничит с областью "а". Полученная точка пересечения - точка "2".
Усилие в стержне "1-2" соответствует отрезку "1-2" на диаграмме. Усилие в стержне
"а-2" соответствует отрезку "а-2" на диаграмме. Усилие в стойке "а-1" соответствует отрезку "а-1" на вертикальной прямой.
Строим на диаграмме отрезок "2-3". Область "2" граничит с областью "3", в то же время, они обе граничат с областью "а", следовательно точки "2" и "3" совпадают.
Строим на диаграмме отрезок "3-4". Точка "3" уже построена. Область "3" граничит с областью "а", в то же время область "4" граничит с областью "в". Усилие в стержне "3-4" направлено вдоль стержня "3-4", поэтому точку "4" строим, проведя из т. "3" прямую, параллельную стержню"3-4" до пересечения с горзонтальной прямой, проходящей через
точку "в". Усилие в стержне "3-4" соответствует отрезку "3-4" на диаграмме. Отрезок
"в-4" соответствует усилию в одноимённом стержне нижнего пояса.
Строим отрезок "4-5" соответствующий усилию в одноимённом стержне. . Область "4" граничит с областью "в". Область"5" граничит с областью "б". Усилие в стержне "4-5" направлено по вертикали, поэтому из уже построенной точки "4" проводим вертикальную прямую до пересечения с наклонной прямой, соответствующей области "б" и получаем точку "5". Усилие в стержне "4-5" соответствует отрезку "4-5" на диаграмме. Отрезок "б-5" соответствует усилию в одноимённом стержне.
Строим на диаграмме отрезок "5-6". Точка "5" уже построена. Область "5" граничит с областью "б", в то же время область "6" граничит с областью "а". Усилие в стержне "5-6" направлено вдоль стержня "5-6", поэтому точку "6" строим, проведя из т. "5" прямую, параллельную стержню"5-6" до пересечения с наклонной прямой, проходящей через
точку "а". Усилие в стержне "5-6" соответствует отрезку "5-6" на диаграмме. Отрезок
"а-6" соответствует усилию в одноимённом стержне верхнего пояса.
Строим на диаграмме отрезок "6-7". Область "6" граничит с областью "7", и в то же время, они обе граничат с областью "а", следовательно точки "6" и "7" совпадают и усилие в одноимённомстержне равно нулю.
Строим на диаграмме отрезок "7-8". Точка "7" уже построена. Область "7" граничит с областью "а", в то же время область "8" граничит с областью "б". Усилие в стержне "7-8" направлено вдоль стержня "7-8", поэтому точку "8" строим, проведя из т. "7" прямую, параллельную стержню"7-8" до пересечения с горизонтальной прямой, проходящей через
точку "б". Усилие в стержне "7-8" соответствует отрезку "7-8" на диаграмме. Отрезок
"б-8" соответствует усилию в одноимённом стержне нижнего пояса.
Строим на диаграмме отрезок "8-8*". Область "8" граничит с областью "8*", и в то же время, они обе граничат с областью "б", следовательно точки "8" и "8*" совпадают и усилие в одноимённом стержне равно нулю.
Строим на диаграмме отрезок "7*-8*". Точка "8*" уже построена. Область "8*" граничит с областью "б", в то же время область "7*" граничит с областью "а". Усилие в стержне "7*-8*" направлено вдоль стержня "7*-8*", поэтому точку "7*" строим, проведя из т. "8*" прямую, параллельную стержню"7*-8*" до пересечения с наклонной прямой, соответствующей области "а" для правого ската. Усилие в стержне "7*-8*" соответствует отрезку "7*-8*" на диаграмме. Отрезок "а-7*" соответствует усилию в одноимённом стержне верхнего пояса.
Строим на диаграмме отрезок "7*-6*". Область "7*" граничит с областью "6*", и в то же время, они обе граничат с областью "а", следовательно точки "7*" и "6*" совпадают и усилие в одноимённом стержне равно нулю.
Строим на диаграмме отрезок "6*-5*". Точка "6*" уже построена. Область "6*" граничит с областью "а", в то же время область "5*" граничит с областью "б". Усилие в стержне
"5*-6*" направлено вдоль стержня "5*-6*", поэтому точку "5*" строим, проведя из т. "6*" прямую, параллельную стержню"5*-6*" до пересечения с горизонтальной прямой, проходящей через точку "б". Усилие в стержне "5*-6*" соответствует отрезку "5*-6*" на диаграмме. Отрезок "б-5*" соответствует усилию в одноимённом стержне нижнего пояса.
Рис.4
Строим на диаграмме отрезок "4*-5*". Область "5*" граничит с областью "4*", и в то же время, они обе граничат с областью "б", следовательно точки "5*" и "4*" совпадают и усилие в одноимённом стержне равно нулю.
Строим на диаграмме отрезок "3*-4*". Точка "4*" уже построена. Область "4*" граничит с областью "б", в то же время область "3*" граничит с областью "а". Усилие в стержне "3*-4*" направлено вдоль стержня "3*-4*", поэтому точку "3*" строим, проведя из т. "4*" прямую, параллельную стержню"3*-4*" до пересечения с наклонной прямой, соответствующей области "а" для правого ската. Усилие в стержне "3*-4*" соответствует отрезку "3*-4*" на диаграмме. Отрезок "а-3*" соответствует усилию в одноимённом стержне верхнего пояса.
Строим на диаграмме отрезок "2*-3*". Область "3*" граничит с областью "2*", и в то же время, они обе граничат с областью "а", следовательно точки "2*" и "3*" совпадают и усилие в одноимённомстержне равно нулю.
Строим на диаграмме отрезок "1*-2*". Точка "2*" уже построена. Область "1*" граничит с областью "б", в то же время область "2*" граничит с областью "а". Усилие в стержне "1*-2*" направлено вдоль стержня"1*-2*", поэтому точку "1*" строим, проведя
из т. "2*" прямую, параллельную стержню"1*-2*" до пересечения с горизонтальной прямой, проходящей через т. "б". Усилие в стержне "1*-2*" соответствует отрезку "1*-2*" на диаграмме. Отрезок "б-1*" равен нулю и соответствует усилию в одноимённом стержне нижнего пояса.
Единичные усилия в каждом стержне получаем, измерив длину соответствующего отрезка и разделив её на длину отрезка масштаба сил.
Правило знаков описано выше (см. п. 5.1.1.)
Плученные значения единичных усилий с учётом знака заносим в таблички на рис.4
Переносим данные из табличек на рис.3 и рис.4 в сводную таблицу 2.
При этом, значения в табличках на рис.3 умножаем соответственно на значения постоянной и снеговой узловых нагрузок,т.е.
Fgi = gi x Fg = gi x 14,4 кН; Fsi = si x Fs = si x 38,4 кН
Значения в табличках на рис.4 умножаем на значение тельферной нагузки, т.е.
Тi = T1,i x T = T1,i x 54,8 кН
Примечание к заполнению столбца 9 табл.2
1. Для верхнего, нижнего поясов и стоек это просто сумма усилий по строкам с учётом знака.
2. Для раскосов порядок суммирования следующий:если при любых сочетаниях нагрузки знак раскоса в горизонтальной строке не изменяется, максимальное суммарное значение будет соответствовать полной нагрузке на ферму, т.е сумме всех значений в горизонтальной строке. При всех остальных сочетениях нагрузок, усилие в раскосе будет меньше и потому не рассматривается. Если в горизонтальной строке значение меняет знак, то в столбце 9 записываем два значения, разделённых наклонной чертой. Первое значение - это максимальное положительное, второе - максимальное отрицательное.
Усилия в стержнях фермы при различных сочетаниях постоянной, тельферной и снеговой нагрузок, рассчитанные
графоаналитическим методом Максвелла-Кремоны
Таблица 2
Элемент
|
№№ стержней |
Усилие от постоянной нагрузки –g Fg кН |
Усилие от снеговой нагрузки –s Fs кН |
Усилие от тельфера - Т FТ кН |
Расчётное усилие, N, кН |
|||
слева |
справа |
слева |
справа |
слева |
справа |
|||
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
Верхний пояс |
б-2; (е-2*) |
-32,3 |
-12,8 |
-86,0 |
-34,2 |
-37,3 |
-12,1 |
-214,7 |
в-3; (е-3*) |
-32,3 |
-12,8 |
-86,0 |
-34,2 |
-37,3 |
-12,1 |
-214,7 |
|
г-6; (е-6*) |
-47,5 |
-31,7 |
-126,7 |
-84,5 |
-50,4 |
-30,1 |
-370,9 |
|
д-7; (е-7*) |
-47,5 |
-31,7 |
-126,7 |
-84,5 |
-50,4 |
-30,1 |
-370,9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Нижний пояс |
ж-1; (ж-1*) |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
ж-4; (ж-4*) |
46,1 |
23,0 |
122,9 |
61,4 |
65,8 |
21,9 |
341,1 |
|
ж-5; (ж-5*) |
46,1 |
23,0 |
122,9 |
61,4 |
65,8 |
21,9 |
341,1 |
|
ж-8; (ж-8*) |
38,3 |
38,3 |
102,1 |
102,1 |
36,7 |
36,7 |
354,2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Раскосы |
1-2; (1*-2*) |
42,2 |
18,1 |
120,6 |
48,4 |
51,5 |
17,5 |
298,3 |
3-4; (3*-4*) |
-22,6 |
-16,4 |
-60,3 |
-43,8 |
-46,6 |
-15,3 |
-205 |
|
5-6; (5*-6*) |
1,7 |
13,4 |
4,6 |
35,7 |
-25,8 |
12,6 |
63,4/-6,1 |
|
7-8; (7*-8*) |
15,7 |
-12,5 |
41,9 |
-33,4 |
24,1 |
-12,1 |
69,2/-42,3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Стойки |
а-1; (е-1*) |
-43,2 |
-14,4 |
-115,2 |
-38,4 |
-41,1 |
-13,7 |
-266,0 |
2-3; (2*-3*) |
-14,4 |
0 |
-38,4 |
0 |
0 |
0 |
-52,8 |
|
4-5; (4*-5*) |
0 |
0 |
0 |
0 |
54,8 |
0 |
54,8 |
|
6-7; (6*-7*) |
-14,4 |
0 |
-38,4 |
0 |
0 |
0 |
-52,8 |
|
8-8* |
0 |
|
0 |
|
0 |
|
|
|
Примечание: 1. В столбце 2, обозначения стержней соответствуют изображённому на Рис.3 (диаграмма Максвелла-Кремоны для постоянной и снеговой нагрузок
2. Усилия Fg рассчитывают умножением единичного усилия g (Рис.3) в соответствующем стержне на фактическую узловую нагрузку Fg.
3. Усилия Fs рассчитывают умножением единичного усилия s (Рис.3) в соответствующем стержне на фактическую узловую нагрузку Fs.
4. Усилия FT рассчитывают умножением единичного усилия T (Рис.4) в соответствующем стержне на фактическое значение нагрузки от тельфера.
5. В столбце 9 – сумма всех усилий в одной горизонтальной строке, причём для некоторых раскосов это два значения: максимальное положительное и
максимальное отрицательное (отрицательное имеет знак « - «)
Рассмотрим 3 примера:
1. Раскос "1-2" или симметричный ему раскос "1*-2*".
Сумма столбцов 3 и 4 равна 42,2 + 18,1 = 60,3. При любых сочетаниях нагрузки данный раскос знак не меняет. Наибольшее положительное значение соответствует полной нагрузке.Наибольшее положительное значение: 60,3 +120,6 + 48,4 + 51,5 +17,5 = 298,3
Суммарное положительное значение это 60,3 +120,6 + 17,5 = 198,4.
2. Раскос "3-4" или симметричный ему раскос "3*-4*".
Сумма столбцов 3 и 4 равна - 22,6 - 16,4 = - 39,0. При любых сочетаниях нагрузки данный раскос знак не меняет. Наибольшее отрцательное значение соответствует полной нагрузке. Наибольшее отрицательное значение: -(39,0+ 60,3 + 43,8 + 46,6 +15,3) = -205
3. Раскос "7-8" или симметричный ему раскос "7*-8*".
Сумма столбцов 3 и 4 равна 15,7 - 12,5 = 3,2. Наибольшее положительное значение из столбцов 5 и 6, это 41,9. Наибольшее положительное значение из столбцов 7 и 8, это 24,1.
Суммарное положительное значение это 3,2 + 41,9 + 24,1 = 69,2.
Наибольшее отрицательное значение из столбцов 5 и 6, это - 33,4. Наибольшее отрицательное значение из столбцов 7 и 8, это - 12,1.
Суммарное значение, это 3,2 - 33,4 - 12,1 = -42,3. Записываем в столбце 9
значения 69,2/- 42,3.
В таблицу 3 заносим максимальные (положительные или отрицательные) значения по категориям элементов для последующего расчёта требуемых сечений стержней фермы.
Таблица 3
Максимальное расчётное усилие, кН |
Категория элементов |
|||||
Верхний пояс |
Нижний пояс |
Опорный раскос |
Раскос решётки |
Опорная стойка |
Стойка решетки |
|
-370,9 |
354,2 |
298,3 |
- 205; 69,2/-42,3 |
-266,0 |
-52,8 |
|
Примечание: из близких по абсолютной величине значений в качестве максимального
расчётного значения принимается отрицательное;
если положительное значение больше отрицательного в 1,5 но меньше чем в
3 раза, рассматривются в качестве максимальных оба значения;
если положительное значение больше отрицательного в 3 раза, в качестве
максимального рассматривается положительное значение.
Примечния, рассмотренные выше, касаются только раскосов.