2. Нахождение наибольшего и наименьшего собственного значения матрицы.

Чтобы найти и поступим следующим образом:

1. Найдем - наибольшее по модулю собственное значение матрицы .

2. Затем находим - наибольшее по модулю собственное

значение матрицы .

Если , то ,

при этом

.

Поэтому , т.е. .

Если , то , .

28

Упражнения для самостоятельного решения .

1. Решить методом Гаусса систему

2. Построить LU-разложение матрицы

3. Пусть и - нижние треугольные матрицы. Доказать, что

и - нижние треугольные матрицы. Аналогично для верхних треугольных матриц .

4. Методом квадратного корня решить систему

5. Доказать, что для трехдиагональной матрицы ( ) в -разложении матрицы и - ленточные с полушириной 1.

6. Найти число обусловленности матрицы

в евклидовой норме.

29

7. Для системы уравнений

записать метод простой итерации и выяснить, при каких значениях параметра он сходится. Для начального приближения построить две первые итерации.

8. Для системы из предыдущего упражнения построить 2 первые итерации по методу Зейделя.

9. Исходя из вектора , сделать четыре итерации для отыскания наибольшего по модулю собственного значения матрицы

и найти его приближенное значение, а так же приближение к собственному вектору.

10. Доказать, что если , то .

30

Глава II

ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ

НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Пусть задано некоторое уравнение и требуется найти его решение. Хорошо известно, что в случае нелинейного уравнения получить решение в виде аналитических формул за редким исключением невозможно. Поэтому возникает задача приближенного нахождения корней уравнения с заданной точностью. Будем считать, что уравнение имеет вид

, (1)

где - некоторая заданная функция.

Обычно, прежде чем использовать тот или иной алгоритм нахождения приближенного решения, проводятся некоторые исследования с целью получения информации о расположении корней и их кратности. Будем предполагать, что функция определена и непрерывна на отрезке . Одним из простых способов отделения действительных корней уравнения (1) является следующий: вычисляются значения функции в некоторых точках

Если найдется такое , что

,

то на основании теоремы о нулях непрерывной функции, это означает, что на интервале уравнение (1) имеет хотя бы один корень.

31