3. Неявные итерационные методы.

В данном пособии мы ограничимся рассмотрением простейших вариантов неявных стационарных итерационных методов. Для этого разложим матрицу на сумму трех матриц:

, (57)

где - диагональная часть матрицы , с элементами

24

- нижняя треугольная матрица:

- верхняя треугольная матрица:

Матрица и параметр выбираются следующим образом:

. (58)

Получаемый при этом итерационный метод называется методом верхней релаксации, а в частном случае, когда - методом Зейделя.

Исследуем сходимость указанных методов, в предположении, что выполнены условия теоремы Самарского (41). Заметим, что

.

Поэтому

. (59)

В нашем случае

Тогда, учитывая (59), получаем

.

25

Так как у положительно определенной матрицы все диагональные элементы положительны, то матрица , и условие (42) в нашем случае принимает вид

.

Для, более общих, неявных итерационных методов справедливо утверждение, которое мы приведем без доказательства.

Пусть и - симметричные положительно определенные матрицы, для которых выполнены условия

, (60)

где положительные постоянные, .

Тогда при

итерационный метод (33) сходится и справедлива оценка

, (61)

где

.

Из этой теоремы следует, что матрицу желательно выбирать таким образом, чтобы она имела более простую, чем матрица структуру, при сохранении спектральных свойств матрицы , для того чтобы постараться увеличить .

§3. Проблема собственных значений

В ряде случаев возникает необходимость нахождения всех собственных значений матрицы, а возможно и всех собственных векторов. Эту задачу называют полной проблемой собственных значений. Иногда требуется найти максимальное или минимальное по модулю собственное значение матрицы, наибольшее и наименьшее. Такие задачи относятся к частичным проблемам собственных значений.

26

1. Степенной метод нахождения наибольшего по модулю

собственного значения матрицы и соответствующего ему собственного вектора.

Для простоты изложения будем предполагать наличие полной системы линейно независимых собственных векторов :

.

Пусть

.

Выберем некоторый вектор и будем последовательно вычислять векторы . Пусть разложение по базису имеет вид

. (62)

Тогда

.

Далее

,

.

Полагая

получим

. (63)

27

Кроме того

,

. (64)

Замечание.

Если , то , а если , то . Поэтому целесообразно использовать модифицированный метод:

. (65)