
- •Университет имени м.В. Ломоносова
- •Рецензенты
- •Оглавление
- •Глава I. Численные методы линейной алгебры 8
- •§1. Прямые методы решения систем линейных
- •§2. Итерационные методы решения систем линейных
- •§3. Проблема собственных значений . . . . . . . . . . . . . . . 26
- •2.B. Метод наименьших квадратов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
- •3. Наилучшее равномерное приближение . . . . . . . . . . . . . 56
- •Глава IV. Численное дифференцирование
- •§1. Численное дифференцирование . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
- •§2. Численное интегрирование . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
- •Глава V. Численные методы решения задачи
- •§1. Методы Рунге-Кутты. Таблицы Бутчера . . . . . . . . . . 75
- •§2. Многошаговые разностные методы . . . . . . . . . . . . . . . 80
- •Предисловие
- •Введение
- •Глава I численные методы линейной алгебры
- •§1. Прямые методы решения систем линейных алгебраических уравнений
- •1. Метод Гаусса.
- •2. Треугольное разложение матрицы.
- •3. Ленточные матрицы. Метод прогонки.
- •4. Метод квадратного корня.
- •5. Обусловленность систем линейных алгебраических уравнений.
- •§2. Итерационные методы решения систем линейных
- •Предварительные сведения. Теорема Самарского.
- •Легко проверить, что
- •2. Метод простой итерации.
- •3. Неявные итерационные методы.
- •§3. Проблема собственных значений
- •1. Степенной метод нахождения наибольшего по модулю
- •2. Нахождение наибольшего и наименьшего собственного значения матрицы.
- •Глава II
- •§1. Метод бисекций (деления отрезка пополам).
- •§2. Метод простой итерации .
- •§3. Метод Ньютона.
Легко проверить, что
,
здесь
-
наименьшее собственное значение матрицы
и
.
В
дальнейшем, под
будем подразумевать
.
Справедлива следующая теорема о достаточных условиях сходимости итерационного процесса (33).
Т е о р е м а Самарского. Пусть A – самосопряженная положительно определенная матрица:
(41)
и
,
(42)
Тогда
при любом выборе начального приближения
итерационный процесс, который определяется
формулой (33)
, сходится к
решению системы (1).
Д
о к а з а т е л ь с т в о. Представим
в виде
,
где
- точное решение,
- погрешность. Подставляя
в (33), получим рекуррентное соотношение
для погрешности:
.
(43)
Откуда
(44)
21
где
,
и
.
(45)
Из равенства (44) следует:
.
(46)
Рассмотрим последовательность функционалов:
.
(47)
Тогда
Учитывая, самосопряженность матрицы и соотношение (45), получаем
.
(48)
Следовательно,
невозрастающая, ограниченная снизу
последовательность, которая имеет
предел. В результате, учитывая утверждение
,
будем иметь
.
(49)
Из
этого неравенства и сходимости
последовательности функционалов
следует, что
при
.
Согласно (45)
,
поэтому
,
что и завершает доказательство теоремы.
22
2. Метод простой итерации.
Итерационный
метод (33) с матрицей B=E
и
называется методом
простой итерации
. Для вычисления очередного приближения
применяется рекуррентная формула
,
(50)
а условие (42) принимает вид
.
Откуда, учитывая (37), получаем ограничения на итерационный параметр
.
(51)
Введем оператор перехода
.
(52)
Тогда для погрешности решения справедливо соотношение
.
(53)
Легко
проверить, что собственными значениями
матрицы
будут числа
и
.
Справедливо утверждение:
Для того чтобы метод простой итерации сходился к решению системы (1) при любом выборе начального приближения, необходимо и достаточно, чтобы все собственные значения матрицы S были по модулю меньше единицы:
.
(54)
Д
о с т а т о ч н о с т ь. Условие (54) означает,
что
.
Поэтому
.
(55)
23
Н
е о б х о д и м о с т ь. Если предположить
существование
,
то, выбирая начальное приближение
, получаем
,
что означает отсутствие сходимости итерационного процесса (50).
Перейдем к исследованию скорости сходимости метода. Пусть
-
упорядоченный набор собственных чисел
матрицы
.
Следовательно
,
и
.
Чем меньше норма
, тем быстрее сходимость метода. Очевидно,
что наименьшее значение нормы
достигается при выполнении условия
,
т.е.
.
Откуда
и
,
где
.
(56)
Заметим,
что число обусловленности
,
т.е. для плохо обусловленных матриц
сходимость метода простой итерации
медленная. Для улучшения сходимости
можно выбрать
,
или отказаться от условия
.
Рассмотрим первый случай.