5. Обусловленность систем линейных алгебраических уравнений.

Будем считать, что правая часть и решение задачи (1) принадлежат n-мерному линейному нормированному пространству L. Если в пространстве векторов введена норма , то согласованная с ней матричная норма задается формулой

. (24)

16

Наиболее употребительные нормы

,

,

.

Согласованные с ними матричные нормы задаются соотношениями:

, (25)

, (26)

, (27)

где - собственные значения матрицы .

Легко видеть, что векторные нормы удовлетворяют неравенствам:

.

Наряду с системой (1) рассмотрим ” возмущенную систему”

, (28)

которая отличается от (1) правой частью. Выясним, как сильно может измениться решение в результате изменения правой части.

17

Введем обозначения

.

Из (1) и (28) получаем уравнение для погрешности

,

откуда

и, следовательно

. (29)

Для получения оценки относительной погрешности учтем, что

. (30)

Перемножая (29) и (30), приходим к требуемой оценке

, (31)

где

. (32)

Число называется числом обусловленности матрицы А. Системы уравнений и матрицы с большими числами принято называть плохо обусловленными, а с малыми – хорошо обусловленными. При численном решении систем с плохо обусловленными матрицами возможно сильное накопление погрешностей. Справедливы следующие свойства чисел обусловленности:

а. ,

б. ,

где и - соответственно наибольшее и наименьшее по модулю собственные значения матрицы А.

в. .

18

§2. Итерационные методы решения систем линейных

алгебраических уравнений.

1. Предварительные сведения. Теорема Самарского.

Для решения системы уравнений (1) с использованием итерационных методов выбирается некоторое начальное приближение и затем последовательно находятся приближенные решения (итерации) уравнения (1). Если при вычислении очередной итерации используются значения m предыдущих, то такой метод называется m - шаговым. Мы будем рассматривать одношаговые линейные итерационные методы.

, (33)

где А – матрица исходной системы, B – невырожденная матрица, - итерационные параметры, .

Если B=E – единичная матрица, то метод (33) называют явным, в противном случае – неявным. При метод стационарный. В случае неявного метода для нахождения очередной итерации приходится решать систему уравнений

(34)

Поэтому матрицу B надо выбирать таким образом, чтобы объем вычислений при решении системы (34) был гораздо меньше, чем при прямом решении системы (1).

Для дальнейшего изложения материала нам понадобятся некоторые факты из теории линейных операторов в вещественных евклидовых пространствах . Напомним, что оператор называется сопряженным к оператору , если

. (35)

Для элементов матриц операторов и справедливо равенство

19

При оператор называется самосопряженным. Все собственные значения самосопряженного оператора вещественны, и существует ортонормированный базис из собственных векторов. Если выполняется неравенство

, (36)

то оператор называется положительно определенным. Очевидно, что оператор является самосопряженным и положительно определенным тогда и только тогда, когда все его собственные значения положительны.

Из этих свойств операторов нетрудно получить два простых утверждения:

. Для любого самосопряженного положительно определенного оператора справедлива оценка

, (37)

где - соответственно наименьшее и наибольшее собственные значения оператора.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть

разложение вектора в ортонормированном базисе из собственных векторов . Тогда и

.

Откуда легко следует оценка (37).

. Если , то существует число , такое, что

(38)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Для достаточно взять .

20

Если , то заметим, что любую матрицу можно представить в виде

, (39)

где

. (40)