3. Ленточные матрицы. Метод прогонки.

Определение. Матрица называется ленточной с полушириной если при и существует при

.

Нас будут интересовать трехдиагональные матрицы т. е. .

Можно показать (см. упражнение), что если матрица ленточная с полушириной , то матрицы и в - разложении также ленточные с полушириной .

Будем говорить, что матрица имеет диагональное преобладание, если

.

Для матриц с диагональным преобладанием справедливо утверждение, что все главные миноры отличны от нуля и система уравнений (1) имеет единственное решение (см. упражнение).

13

Рассмотрим систему линейных уравнений с трехдиагональной матрицей и диагональным преобладанием.

(11)

. . . . . . . .

(12)

. . . . . . . .

(13)

К решению таких систем сводится довольно много задач математической физики. Будем решать эту систему методом прогонки. Идея метода прогонки основана на предположении, что неизвестные связаны соотношением

(14)

В пользу такого предположения говорит тот факт, что в - разложении для трехдиагональных матриц, матрица ленточная с полушириной , т.е. на обратном ходе метода Гаусса приходится решать систему

(15)

На прямом ходе прогонки находятся коэффициенты а на обратном неизвестные .

Из уравнения (11)

.

Следовательно

.

Подставляя в уравнение (12)

,

14

получаем

,

откуда

, т. е.

. (16)

Уравнение (13) используется для нахождения , чтобы начать обратный ход прогонки (14).

,

. (17)

Учитывая диагональное преобладание можно показать, что

. (18)

Заметим, что . Пусть при некотором , тогда

.

Неравенство (18) делает прогонку устойчивой, т. е. если найдено с ошибкой, то при вычислении по формуле (14), эта ошибка нарастать не будет.

4. Метод квадратного корня.

Этот метод применяется для решения системы уравнений (1) с симметричной матрицей . Мы рассмотрим частный случай, когда матрица системы (1) является симметричной и положительно определенной.

15

Матрица разлагается в произведение

, (19)

где - верхняя треугольная матрица. Решение системы (1) сводится к последовательному решению двух систем

, . (20)

Учитывая структуру матрицы , получаем

. (21)

Откуда

. (22)

При имеем , поэтому

. (23)