Глава I численные методы линейной алгебры

К численным методам линейной алгебры обычно относят численные методы решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), вычисления определителей, обращения матриц, нахождения собственных значений и соответствующих им собственных векторов.

С точки зрения классической математики решение этих задач не вызывает особых проблем: по формулам Крамера находим решение (СЛАУ); для нахождения собственных значений матрицы достаточно выписать характеристический многочлен и найти его корни, а затем собственные вектора. Однако на практике эти методы решения задач алгебры практически не работают. Например, при вычислении определителя матрицы классическим методом требуется порядка арифметических операций, что при больших значениях вызывает затруднение. Кроме того, необходимо учитывать влияние на конечный результат округлений при вычислениях.

Рассмотрим задачу о нахождении решения системы уравнений

, (1)

где - матрица - искомый вектор, - заданный вектор. Всюду в дальнейшем предполагается, что матрица  невырожденная, т. е. решение (1) существует и единственно. Методы численного решения системы (1) делятся на два класса: прямые или точные методы и итерационные методы. При использовании прямых методов “точное” решение находится за конечное число арифметических действий. Здесь мы не учитываем погрешности округлений при решении задач с использованием компьютеров. В итерационных методах решение (1) находится как предел при последовательных приближений , где - номер итерации.

8

§1. Прямые методы решения систем линейных алгебраических уравнений

1. Метод Гаусса.

Система (1) в развернутой форме имеет вид

(2)

Предполагая, что исключим из уравнений начиная с второго. Получим систему уравнений с матрицей

(3)

Допустим , что . Тогда можно исключить и получить систему уравнений с матрицей

Исключая таким же способом неизвестные , приходим к системе уравнений вида

9

(4)

Матрица этой системы содержит нули всюду ниже главной диагонали. Матрицы такого вида называют верхними треугольными. Нижней треугольной называется матрица, у которой равны нулю все элементы, расположенные выше главной диагонали. Получение системы (4) составляет прямой ход метода Гаусса. Обратный ход заключается в нахождении неизвестных из системы (4). Трудоемкость метода порядка действий. Основным ограничением метода является предположение, что все элементы , на которые приходится делить, не равны 0.

2. Треугольное разложение матрицы.

Метод Гаусса преобразует систему уравнений в эквивалентную систему , где - верхняя треугольная матрица с единицами на главной диагонали. Выясним, как связаны между собой векторы правых частей и . Очевидно, что . Второе уравнение после первого шага имеет вид :

, где . Отсюда

, и вообще

. (5)

Соотношения (5) можно записать в матричном виде ,

где - нижняя треугольная матрица.

10

Напомним, что основное условие применимости метода Гаусса состоит в том, что все . Поэтому на диагонали матрицы стоят ненулевые элементы. Таким образом, из (4), (5) получаем равенство

(6)

Теперь мы можем трактовать метод Гаусса следующим образом. Вначале проводится разложение матрицы в произведение двух треугольных, а затем последовательно решаются две системы

и .

Заметим, что в методе Гаусса разложение матрицы и решение системы (5) проводятся одновременно.

Обозначим через угловой минор порядка матрицы , т.е.

.

Т е о р е м а (теорема об - разложении). Пусть все угловые миноры матрицы отличны от нуля. Тогда матрицу можно представить единственным образом в виде произведения

, (7)

где - нижняя треугольная матрица с ненулевыми диагональными элементами и - верхняя треугольная матрица с единичной диагональю.

Д о к а з а т е л ь с т в о (см. [ 1 ] ). Проведем доказательство методом математической индукции. Рассмотрим случай n = 2. Будем искать разложение матрицы

в виде

,

где - неизвестные. Для их нахождения имеем систему

которая имеет единственное решение

11

, , ,

.

Пусть утверждение теоремы справедливо при ; докажем, что оно справедливо и для матриц порядка . Представим матрицу порядка в виде

, где

, ,

.

Согласно предположению индукции , где

- нижняя и верхняя треугольные матрицы с указанными свойствами. Будем искать разложение матрицы в виде

, (8)

где - неизвестные пока векторы,

, .

Перемножая матрицы в правой части уравнения (8), приходим к системе уравнений

,

, (9)

.

Откуда

.

12

Таким образом, - разложение матрицы порядка существует.

Из разложения (8) следует, что

. Поэтому .

Предположим, что матрицу можно разложить двумя способами:

.

Тогда

. (10)

Матрица в левой части уравнения (10) является верхней треугольной, а в правой части – нижней треугольной (см. упражнение). Такое равенство возможно только в случае, если матрицы диагональные. Поэтому

.

Следовательно . Теорема доказана.